ABSTRACT
Contents 3.1 Preliminary Analysis of the Koszul Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 The Koszul Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.2 The Failure of Exactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.3 A More Careful Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Describing the Failure of Exactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.1 The Syzygy Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2 The Sheaf-Theoretic Koszul Complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.3 The Spectral Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.4 Consequences of the Spectral Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.5 Description of d2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 A Picture of the Syzygy Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.1 The Degree of a Syzygy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.2 Vanishing Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.3 The Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.4 Exactness Modulo B-Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 The Question Marks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4.1 The Segre Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4.2 The Two Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4.3 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5 Hilbert Functions and Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.1 Hilbert Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.2 Generators of the Syzygy Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.5.3 The Free Resolution of I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.6 Explicit Non-Koszul Syzygies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.6.1 Formulas for Syzygies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.6.2 The Nongeneric Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6.3 Resultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.7 The Shape of the Minimal Free Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.7.1 Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.7.2 The Mapping Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.7.3 The Nongeneric Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.7.4 The Generic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.7.5 Minimal Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.7.6 Liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8 The Implicitization Problem in Geometric Modeling . . . . . . . . . . . . . . 105 3.8.1 Moving Curves and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.8.2 Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
The purpose of this chapter is to illustrate how bigraded commutative algebra differs from the classical graded case and to indicate some of the theoretical tools needed to understand free resolutions in the bigraded case. Bigraded commutative algebra is a special case of multigraded commutative algebra, which is in turn an instance of toric (or polytopal) algebra.
