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Calculus
Pages 30

Derivatives (cont.)  ݀

݀ݔ ሺsinሺݑሻሻ ൌ ሺcosሺݑሻሻ · ݑ ᇱ ݀݀ݔ ሺcosሺݑሻሻ ൌ െሺsin ሺݑሻሻ · ݑ

݀ ݀ݔ ሺtanሺݑሻሻ ൌ ሺsec

ଶሺݑሻሻ · ݑᇱ ݀݀ݔ ሺcotሺݑሻሻ ൌ െሺcsc ଶሺݑሻሻ · ݑᇱ 

  ݀

݀ݔ ሺsecሺݑሻሻ ൌ ൫secሺuሻ · tanሺuሻ൯ · ݑ ᇱ 

݀ ݀ݔ ሺcscሺݑሻሻ ൌ െ൫cscሺݑሻ · cotሺݑሻ൯ · ݑ

ᇱ   

Inverse Trigonometric Derivatives    ݀

݀ݔ ൫arcsinሺݑሻ൯ ൌ ݑᇱ

√1 െ ݑଶ  

݀ ݀ݔ ሺarccosሺݑሻሻ ൌ

െݑᇱ √1 െ ݑଶ 

݀ ݀ݔ ൫arctanሺݑሻ൯ ൌ

ݑᇱ 1 ൅ ݑଶ 

݀݀ݔ ሺarccotሺݑሻሻ ൌ െݑᇱ

1 ൅ ݑଶ 

݀ ݀ݔ ൫arcsecሺݑሻ൯ ൌ

ݑᇱ |ݑ| · √ݑଶ െ 1  

݀ ݀ݔ ሺarccscሺݑሻሻ ൌ

െݑᇱ |ݑ| · √ݑଶ െ 1 

______________________________________________________________________

Basic Rules  p.  105 

Simple Integrals    p.  105 

ࢇ ൅ ࢈ · ࢞   p.  105 

૚ ࢇ ൅ ࢈ · ࢞    p.  106 

࢞ ࢇ ൅ ࢈ · ࢞    p.  107 

૚ ࢇ ൅ ࢈ · ࢞૛    p.  108 

࢞ ࢇ ൅ ࢈ · ࢞૛    p.  108 

૚ ሺࢇ ൅ ࢈ · ࢞ሻ · ሺ࢑ ൅ ࢍ · ࢞ሻ    pp.  108-109 

࢞ ሺࢇ ൅ ࢈ · ࢞ሻ · ሺ࢑ ൅ ࢍ · ࢞ሻ    pp.  109-110 

ࢇ ൅ ࢈ · ࢞ ࢑ ൅ ࢍ · ࢞    p.  110 

√ࢇ ൅ ࢈ · ࢞   p.  110     

______________________________________________________________________

૚ √ࢇ ൅ ࢈ · ࢞     pp.  110-111 

࢞ √ࢇ ൅ ࢈ · ࢞     p.  111 

√ࢇ ൅ ࢈ · ࢞ ࢞     p.  111 

૚ ࢇ · ࢞૛ ൅ ࢈ · ࢞ ൅ ࢉ    pp.  111-112 

૚ ሺࢇ · ࢞૛ ൅ ࢈ · ࢞ ൅ ࢉሻ࢔    p.  112 

࢞ ࢇ · ࢞૛ ൅ ࢈ · ࢞ ൅ ࢉ    p.  112 

ඥ࢞૛ േ ࢇ૛   p.  113 

ඥ࢞૛ േ ࢇ૛ ࢞     p.  114 

૚ ඥ࢞૛ േ ࢇ૛    pp.  114-115 

࢞ ඥ࢞૛ േ ࢇ૛    pp.  115-116 

૚ ࢞૛ െ ࢇ૛    p.  116 

   

______________________________________________________________________

࢞ ࢞૛ െ ࢇ૛    p.  116 

૚ ࢇ૛ േ ࢞૛    p.  116 

࢞ ࢇ૛ േ ࢞૛    p.  117 

ඥࢇ૛ െ ࢞૛   p.  117 

√ࢇ૛ െ ࢞૛ ࢞     p.  118 

૚ √ࢇ૛ െ ࢞૛    pp.  118-119 

࢞ √ࢇ૛ െ ࢞૛    p.  119 

ࢋ࢞    p.  120 

࢒࢔ሺ࢞ሻ   p.  121 

Trigonometric Forms    pp.  122-125 

Inverse Trigonometric Forms    pp.  126-127   

a, b, k, g, n, m,  C = constant                   ܨሺݔሻ ൌ ݑ,   ܩሺݔሻ ൌ ݒ     

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Basic Rules  න ݇ · ݑ ݀ݔ ൌ ݇ · න ݑ ݀ݔ 

න ݑ േ ݒ ݀ݔ ൌ න ݑ ݀ݔ േ න ݒ ݀ݔ   

Simple Integrals  න ݇ ݀ݔ ൌ ݇ · ݔ ൅ ܥ 

න 1ݔ ݀ݔ ൌ ݈݊ ሺ|ݔ|ሻ ൅ ܥ 

න ݔ௡ ݀ݔ ൌ ݔ ௡ାଵ

݊ ൅ 1 ൅ ܥ ݂݋ݎ ݊ ് െ1 

න 1ݔ௡ ݀ݔ ൌ 1

1 െ ݊ · 1

ݔ௡ିଵ ൅ܥ ݂݋ݎ ݊ ് 1 

න ݇௡·௫ ݀ݔ ൌ 1݊ · ݇௡·௫

lnሺ݇ሻ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݇ ൐ 0   

නሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ ݀ݔ ൌ ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ௡ାଵ

ܾ · ሺ݊ ൅ 1ሻ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݊ ് 1 

න ݔ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ ݀ݔ ൌ ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ௡ାଶ

ܾଶ · ሺ݊ ൅ 2ሻ െ ܽ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ାଵ

ܾଶ · ሺ݊ ൅ 1ሻ ൅ ܥ  ݂݋ݎ ݊ ് െ1, െ2  න ݔଶ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ ݀ݔ  

ൌ 1ܾଷ · ቆ ሺܽ൅ܾ·ݔሻ௡ାଷ

݊൅3 െ 2·ܽ·ሺܽ൅ܾ · ݔሻ௡ାଶ

݊൅2 ൅ ܽଶ·ሺܽ൅ܾ·ݔሻ௡ାଵ

݊൅1 ቇ ൅ ܥ 

݂݋ݎ ݊ ് െ1, െ2, െ3     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න 1ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ

1 ܾ · ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻ ൅ ܥ 

න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ ൌ െ 1

ܾ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ൅ ܥ 

න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଷ ൌ െ 1

2 · ܾ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ ൅ ܥ 

න 1ݔ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ܽ · ݈݊ ቀቚ

ݔ ܽ ൅ ܾ · ݔቚቁ ൅ ܥ 

න 1ݔ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ ൌ 1 ܽ · ቆ

1 ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅

1 ܽ · ݈݊ ቀቚ

ݔ ܽ ൅ ܾ · ݔቚቁቇ ൅ ܥ 

න 1ݔ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଷ ݀ ൌ 1

ܽଷ · ቌ 1 2 · ൬

2 · ܽ ൅ ܾ · ݔ ܽ ൅ ܾ · ݔ ൰

ଶ െ ݈݊ ൬ฬܽ ൅ ܾ · ݔݔ ฬ൰ቍ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1

ܽ · ݔ ൅ ܾ

ܽଶ · ݈݊ ൬ฬ ܽ ൅ ܾ · ݔ

ݔ ฬ൰ ൅ ܥ 

න 1ݔଷ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ܾ · ݔ െ ܽ 2 · ܽଶ · ݔଶ ൅

ܾଶ ܽଷ · ݈݊ ቀቚ

ݔ ܽ ൅ ܾ · ݔቚቁ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ 

ൌ െ 1ܽଶ · ൭ ܽ ൅ 2 · ܾ · ݔ

ݔ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ൅ 2 · ܾ

ܽ · ݈݊ ቀቚ ݔ

ܽ ൅ ܾ · ݔቚቁ൱ ൅ ܥ     

______________________________________________________________________

න ݔܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 1

ܾଶ · ൫ܽ ൅ ܾ · ݔ െ ܽ · ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻ൯ ൅ ܥ 

න ݔሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ ൌ 1

ܾଶ · ቆ ܽ

ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅ ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻቇ ൅ ܥ 

න ݔሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ ݀ݔ 

ൌ 1ܾଶ · ൬ െ1

ሺ݊ െ 2ሻ·ሺܽ൅ܾ·ݔሻ௡ିଶ ൅ ܽ

ሺ݊ െ 1ሻ·ሺܽ൅ܾ·ݔሻ௡ିଵ൰ ൅ܥ  ݂݋ݎ ݊ ് 1,2 

න ݔ ଶ

ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ 

ൌ 1ܾଷ · ቆ 1 2 ·ሺܽ൅ܾ·ݔሻ

ଶ െ 2·ܽ·ሺܽ൅ܾ·ݔሻ൅ܽଶ·݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻቇ ൅ܥ 

න ݔ ଶ

ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ 

ൌ 1ܾଷ · ቆܽ ൅ ܾ · ݔ െ 2 · ܽ · ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻ െ ܽଶ

ܽ ൅ ܾ · ݔቇ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଷ ݀ݔ 

ൌ 1ܾଷ · ቆ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻ ൅ 2 · ܽ

ܽ ൅ ܾ · ݔ െ ܽଶ

2 · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶቇ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ ݀ݔ 

ൌ 1ܾଷ ·ሺ െ1ሺ݊ െ 3ሻ·ሺܽ൅ܾ · ݔሻ௡ିଷ ൅ 2·ܽሺ݊ െ 2ሻ·ሺܽ൅ܾ · ݔሻ௡ିଶ  െ ܽ

ሺ݊ െ 1ሻ·ሺܽ൅ܾ·ݔሻ௡ିଵ ሻ൅ ܥ  ݂݋ݎ ݊ ് 1,2,3 

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න ܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ 

ൌ 1√ܽ · ܾ · ܽݎܿݐܽ݊ ቆ ݔ · √ܽ · ܾ

ܽ ቇ ൅ ܥ, ݂݋ݎ ܽ · ܾ ൐ 0 

න 1ܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ 

ൌ 12 · √െܽ · ܾ · ݈݊ ቆቤ ܽ ൅ ݔ · √െܽ · ܾ ܽ െ ݔ · √െܽ · ܾቤቇ ൅ ܥ, ݂݋ݎ ܽ · ܾ ൏ 0 

න 1ܽଶ ൅ ܾଶ · ݔଶ ݀ݔ ൌ 1

ܽ · ܾ · ܽݎܿݐܽ݊ ൬ ܾ · ݔ

ܽ ൰ ൅ ܥ 

න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔଶሻଶ ݀ݔ ൌ ݔ

2 · ܽ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔଶሻ ൅ 1

2 · ܽ · න 1

ܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ 

න 1ܽଶ െ ܾଶ · ݔଶ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽ · ܾ · ݈݊ ൬ฬ ܽ ൅ ܾ · ݔ ܽ െ ܾ · ݔฬ൰ ൅ ܥ 

න 1ݔ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔଶሻ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽ · ݈݊ ቆቤ ݔଶ

ܽ ൅ ܾ · ݔଶቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔଶሻ ݀ݔ ൌ െ 1

ܽ · ݔ െ ܾ ܽ · න

1 ܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ 

  න ݔܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ ൌ

1 2 · ܾ · ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ

ଶ|ሻ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

ܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ ൌ ݔ ܾ െ

ܽ ܾ · න

1 ܽ ൅ ܾ · ݔଶ ݀ݔ 

න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ ݀ݔ ൌ

1 ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ݈݊ ൬ฬ

݇ ൅ ݃ · ݔ ܽ ൅ ܾ · ݔฬ൰ ൅ ܥ 

              ݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ ݀ݔ 

ൌ 1ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ൭ 1

ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅ ݃

ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ݈݊ ൬ฬ ݇ ൅ ݃ · ݔ ܽ ൅ ܾ · ݔฬ൰൱ ൅ ܥ 

݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0 

න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ௠ ݀ݔ 

ൌ 1ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻ · ሺ݉ െ 1ሻ 

·ሺ െ1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ିଵ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ௠ିଵ െ ܾ · ሺ݉ ൅ ݊ െ 2ሻ  · න 1ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ௡ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ௠ିଵ ݀ݔሻ 

                     ݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0   

න ݔሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ ݀ݔ 

ൌ 1ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ൭ ܽ ܾ · ݈݊ሺ|ܽ ൅ ܾ · ݔ|ሻ െ

݇ ݃ · ݈݊ሺ|݇ ൅ ݃ · ݔ|ሻ൱ ൅ ܥ 

                      ݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0    න ݔሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ ݀ݔ 

ൌ െ ܾܽ · ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ െ ݇

ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻଶ 

· ݈݊ ൬ฬ݇ ൅ ݃ · ݔܽ ൅ ܾ · ݔฬ൰ ൅ ܥ                         ݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0 

______________________________________________________________________

ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଶ · ሺ݇ ൅ ݃ · ݔሻ ݀ݔ 

ൌ ܽ ଶ

ܾଶ · ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻ · ሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ൅ 1

ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻଶ 

· ቌ݇ ଶ

݃ ·݈݊ሺ|݇൅݃·ݔ|ሻ൅ ܽ·൫ሺܽ·݃ െ ܾ·݇ሻ െ ܾ·݇൯

ܾଶ ·݈݊ሺ|ܽ൅ܾ·ݔ|ሻቍ ൅ ܥ 

݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0   

න ܽ ൅ ܾ · ݔ݇ ൅ ݃ · ݔ ݀ݔ ൌ ܾ · ݔ

݃ ൅ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇

݃ଶ · ݈݊ሺ|݇ ൅ ݃ · ݔ|ሻ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0 

  න √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 23 · ܾ · ඥሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଷ ൅ ܥ 

න ݔ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ 2 · ሺ2 · ܽ െ 3 · ܾ · ݔሻ15 · ܾଶ · ඥሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଷ ൅ ܥ

න ݔଶ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔൌ 2·ሺ8·ܽ ଶ െ 12·ܽ·ܾ·ݔ ൅ 15·ܾଶ·ݔଶሻ

105 · ܾଷ ·ඥሺܽ൅ܾ·ݔሻଷ൅ܥ 

න ݔ௡ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 2ܾ · ሺ2 · ݊ ൅ 3ሻ · ሺݔ௡ · ඥሺܽ ൅ ܾ · ݔሻଷ  െ݊ · ܽ · න ݔ௡ିଵ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ሻ ൅ ܥ  

  න 1√ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ

2 · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ܾ ൅ ܥ 

න 1ݔ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 2

√െܽ · ܽݎܿݐܽ݊ ቌඨ ܽ൅ܾ·ݔ

െܽ ቍ ൅ܥ ݂݋ݎ ܽ ൏ 0

න 1ݔ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 1

√ܽ · ݈݊ ቆቤ √ܽ ൅ ܾ · ݔ െ √ܽ √ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅ √ܽቤቇ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ ൐ 0 

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Integrals (cont.)  න 1ݔଶ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ

√ܽ ൅ ܾ · ݔ ܽ · ݔ െ

ܾ 2 · ܽ · න

1 ݔ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ 

න 1ݔ௡ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ √ܽ ൅ ܾ · ݔ

ሺ݊ െ 1ሻ · ܽ · ݔ௡ିଵ െ ሺ2 · ݊ െ 3ሻ · ܾ ሺ2 · ݊ െ 2ሻ · ܽ 

· න 1ݔ௡ିଵ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ   

න ݔ√ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ 2 · ሺ2 · ܽ െ ܾ · ݔሻ

3 · ܾଶ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

√ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ 

ൌ 2 · ሺ8 · ܽ ଶ െ 4 · ܽ · ܾ · ݔ ൅ 3 · ܾଶ · ݔଶሻ

15 · ܾଷ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܥ 

න ݔ ௡

√ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 2

ሺ2 · ݊ ൅ 1ሻ · ܾ 

· ቆݔ௡ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ െ ݊ · ܽ · න ݔ ௡ିଵ

√ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔቇ   

න √ܽ ൅ ܾ · ݔݔ ݀ݔ ൌ 2 · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܽ · න 1

ݔ · √ܽ ൅ ܾ · ݔ ݀ݔ 

න √ܽ ൅ ܾ · ݔݔ௡ ݀ݔ ൌ െ 1

ሺ݊ െ 1ሻ · ܽ 

· ൭ඥሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ଷ

ݔ௡ିଵ ൅ ሺ2 · ݊ െ 5ሻ · ܾ

2 · න √ܽ ൅ ܾ · ݔ

ݔ௡ିଵ ݀ݔ൱   

න 1ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ ൌ 2

√4 · ܽ · ܿ െ ܾଶ · ܽݎܿݐܽ݊ ൬ 2 · ܽ · ݔ ൅ ܾ

√4 · ܽ · ܿ െ ܾଶ൰ ൅ ܥ 

݂݋ݎ ܾଶ ൏ 4 · ܽ · ܿ     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න 1ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ 

ൌ 1√ܾଶ െ 4 · ܽ · ܿ · ݈݊ ቆቤ 2 · ܽ · ݔ ൅ ܾ െ √ܾଶ െ 4 · ܽ · ܿ 2 · ܽ · ݔ ൅ ܾ ൅ √ܾଶ െ 4 · ܽ · ܿቤቇ ൅ ܥ 

݂݋ݎ ܾଶ ൐ 4 · ܽ · ܿ   

න 1ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ ൌ െ 2

2 · ܽ · ݔ ൅ ܾ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܾ ଶ ൌ 4 · ܽ · ܿ 

  න 1ሺܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿሻ௡ାଵ ݀ݔ 

ൌ 2 · ܽ · ݔ ൅ ܾ݊ · ሺ4 · ܽ · ܿ െ ܾଶሻ · ሺܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿሻ௡ ൅ 2 · ሺ2 · ݊ െ 1ሻ · ܽ ݊ · ሺ4 · ܽ · ܿ െ ܾଶሻ 

· න 1ሺܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿሻ௡ ݀ݔ   

න ݔܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ 

ൌ 12 · ܽ · ݈݊ሺ|ܽ · ݔ ଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ|ሻ െ ܾ2 · ܽ · න

1 ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ 

න ݔ ଶ

ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ ൌ ݔ ܽ െ

ܾ 2 · ܽଶ · ݈݊ሺ|ܽ · ݔ

ଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ|ሻ 

൅ ܾ ଶ െ 2 · ܽ · ܿ

2 · ܽଶ · න 1

ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ 

න ݔ ௡

ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ 

ൌ ݔ ௡ିଵ

ሺ݊ െ 1ሻ · ܽ െ ܿ ܽ · න

ݔ௡ିଶ ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ 

െ ܾܽ · න ݔ௡ିଵ

ܽ · ݔଶ ൅ ܾ · ݔ ൅ ܿ ݀ݔ     

______________________________________________________________________

න ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 12 · ൬ݔ · ඥݔଶ േ ܽଶ േ ܽ ଶ · ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ൰ ൅ ܥ 

න ݔ · ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 13 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ൅ ܥ 

න ݔଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ݔ4 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ט ܽଶ 8 · ݔ · ඥݔଶ േ ܽଶ 

െ ܽ ସ

8 · ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ൅ ܥ 

න ݔଷ · ඥݔଶ ൅ ܽଶ ݀ݔ ൌ 115 · ሺ3 · ݔ ଶ െ 2 · ܽଶሻ · ඥሺݔଶ ൅ ܽଶሻଷ ൅ ܥ 

න ݔଷ · ඥݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ 15 · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻହ ൅ ܽଶ 3 · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻଷ ൅ ܥ 

න ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 14 ·ሺݔ·ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ േ 3 · ܽଶ · ݔ2 · ඥݔଶ േ ܽଶ  ൅ 3 · ܽ

2 · ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁሻ ൅ ܥ  න ݔ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 15 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻହ ൅ ܥ 

න ݔଶ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ ݔ6 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻହ ט ܽଶ · ݔ

24  

· ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ െ ܽ ସ · ݔ 16 · ඥݔଶ േ ܽଶ 

ט ܽ ଺

16 · ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ൅ ܥ 

න ݔଷ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 17 ·ඥሺݔଶ േ ܽଶሻ଻ ט ܽଶ 5 ·ඥሺݔଶ േ ܽଶሻହ ൅ ܥ 

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Integrals (cont.)  න √ݔ

ଶ ൅ ܽଶ ݔ ݀ݔ ൌ ඥݔଶ ൅ ܽଶ െ ܽ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ݔଶ ൅ ܽଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න √ݔ ଶ െ ܽଶ ݔ ݀ݔ ൌ ඥݔଶ െ ܽଶ െ |ܽ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ

ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න ඥݔ ଶ േ ܽଶ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ

ඥݔଶ േ ܽଶ ݔ ൅ ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ൅ ܥ 

න √ݔ ଶ ൅ ܽଶ ݔଷ ݀ݔ ൌ െ

√ݔଶ ൅ ܽଶ 2 · ݔଶ െ

1 2 · ܽ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ݔଶ ൅ ܽଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න √ݔ ଶ െ ܽଶ ݔଷ ݀ݔ ൌ െ

√ݔଶ െ ܽଶ 2 · ݔଶ ൅

1 2 · |ܽ| ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ

ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න ඥݔ ଶ േ ܽଶ ݔସ ݀ݔ ൌ ט

ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ 3 · ܽଶ · ݔଷ ൅ ܥ 

  න 1ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔ

ଶ േ ܽଶቚቁ ൅ ܥ 

න 1ݔ · √ݔଶ ൅ ܽଶ ݀ݔ ൌ െ 1 ܽ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ݔଶ ൅ ܽଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1

|ܽ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ט ඥݔଶ േ ܽଶ

ܽଶ · ݔ ൅ ܥ 

න 1ݔଷ · √ݔଶ ൅ ܽଶ ݀ݔ ൌ െ √ݔଶ ൅ ܽଶ 2 · ܽଶ · ݔଶ ൅

1 2 · ܽଷ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ݔଶ ൅ ܽଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔଷ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ √ݔଶ െ ܽଶ 2 · ܽଶ · ݔଶ ൅

1 2 · |ܽ|ଷ · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ

ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න 1ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ േݔ

ܽଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ൅ ܥ     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න 1ݔ · ඥሺݔଶ ൅ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ

1 ܽଶ · √ݔଶ ൅ ܽଶ െ

1 ܽଷ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ݔଶ ൅ ܽଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔ · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 1

ܽଶ · √ݔଶ െ ܽଶ െ 1

|ܽଷ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 1

ܽସ · ൭ ඥݔଶ േ ܽଶ

ݔ ൅ ݔ

ඥݔଶ േ ܽଶ൱ ൅ ܥ 

න 1ݔଷ · ඥሺݔଶ ൅ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 3 ൅ ܽଶ

2 · ܽସ · √ݔଶ ൅ ܽଶ ൅ 3

2 · ܽହ  

· ݈݊ ቆቤܽ ൅ √ݔ ଶ ൅ ܽଶ

ݔ ቤቇ ൅ܥ 

න 1ݔଷ · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽଶ · ݔଶ · √ݔଶ െ ܽଶ 

െ 32 · ܽସ · √ݔଶ െ ܽଶ െ 3

2 · |ܽହ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න 1ሺݔ െ ܽሻ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ െ √ݔଶ െ ܽଶ

ܽ · ሺݔ െ ܽሻ ൅ ܥ 

න 1ሺݔ ൅ ܽሻ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ √ݔଶ െ ܽଶ

ܽ · ሺݔ ൅ ܽሻ ൅ ܥ   

න ݔඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ඥݔ ଶ േ ܽଶ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ݔ 2 · ඥݔଶ േ ܽଶ ט

ܽଶ 2 · ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ൅ ܥ 

න ݔ ଷ

ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1 3 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ט ܽ

ଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ൅ ܥ     

______________________________________________________________________

ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1 ݊ · ݔ

௡ିଵ · ඥݔଶ േ ܽଶ ט ݊ െ 1݊ · ܽ ଶ · න ݔ

ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ 

න ݔඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ1

ඥݔଶ േ ܽଶ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ ݔ

ඥݔଶ േ ܽଶ ൅ ݈݊ ቀቚݔ ൅ ඥݔ ଶ േ ܽଶቚቁ ൅ ܥ 

න ݔ ଷ

ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ ඥݔ ଶ േ ܽଶ േ ܽ

ඥݔଶ േ ܽଶ ൅ ܥ   

න 1ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽ · ݈݊ ቀቚ ݔ െ ܽ ݔ ൅ ܽቚቁ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݔ

ଶ ൐ ܽଶ 

න 1ሺݔଶ െ ܽଶሻ௡ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽଶ · ሺ݊ െ 1ሻ · ሺെ ݔሺݔଶ െ ܽଶሻ௡ିଵ  െሺ2 · ݊ െ 3ሻ· න 1ሺݔଶ െ ܽଶሻ௡ିଵሻ ݀ݔ ݂݋ݎ ݊ ് 1 

  න ݔݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ

1 2 · ݈݊ሺ|ݔ

ଶ െ ܽଶ|ሻ ൅ ܥ 

න ݔሺݔଶ െ ܽଶሻ௡ାଵ ݀ݔ ൌ െ 1

2 · ݊ · ሺݔଶ െ ܽଶሻ௡ ൅ ܥ   

න 1ܽଶ ൅ ݔଶ ݀ݔ ൌ 1 ܽ · ܽݎܿݐܽ݊ ቀ

ݔ ܽቁ ൅ ܥ 

න 1ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽ · ݈݊ ൬ฬ ܽ ൅ ݔ ܽ െ ݔฬ൰ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ

ଶ ൐ ݔଶ 

න 1ሺܽଶ േ ݔଶሻ௡ ݀ݔ ൌ 1

2 · ܽଶ · ሺ݊ െ 1ሻ · ሺ ݔሺܽଶ േ ݔଶሻ௡ିଵ  ൅ሺ2 · ݊ െ 3ሻ · න 1ሺܽଶ േ ݔଶሻ௡ିଵ ݀ݔሻ ݂݋ݎ ݊ ് 1 

______________________________________________________________________

Integrals (cont.) න ݔܽଶ േ ݔଶ ݀ݔ ൌ േ

1 2 · ݈݊ሺ|ܽ

ଶ േ ݔଶ|ሻ ൅ ܥ 

න ݔሺܽଶ േ ݔଶሻ௡ାଵ ݀ݔ ൌ ט 1

2 · ݊ · ሺܽଶ േ ݔଶሻ௡ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݊ ് 0   

න ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ ݔ2 · ඥܽଶ െ ݔଶ ൅ ܽଶ 2 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬

ݔ |ܽ|൰ ൅ ܥ 

න ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 14 · ሺݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ൅ 3 · ܽଶ · ݔ2   · ඥܽଶ െ ݔଶ൅ 3 · ܽ

2 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ

|ܽ|൰ሻ൅ܥ  න ݔ · ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ 13 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ൅ ܥ 

න ݔଶ · ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ ݔ4 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ൅ ܽଶ 8  

· ቆݔ · ඥܽଶ െ ݔଶ ൅ ܽଶ · ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ|ܽ|൰ቇ ൅ ܥ 

න ݔଷ · ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ ൬െ 15 · ݔ ଶ െ 215 · ܽ

ଶ൰ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ൅ ܥ 

න ݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 15 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻହ ൅ ܥ 

න ݔଶ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 16 · ݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻହ ൅ ܽଶ · ݔ

24  

· ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ൅ ܽ ସ · ݔ 16 · ඥܽଶ െ ݔଶ 

൅ ܽ ଺

16 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ

|ܽ|൰ ൅ ܥ 

න ݔଷ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 17 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻ଻ െ ܽଶ 5 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻହ ൅ ܥ 

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න √ܽ

ଶ െ ݔଶ ݔ ݀ݔ ൌ ඥܽଶ െ ݔଶ െ ܽ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න √ܽ ଶ െ ݔଶ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ

√ܽଶ െ ݔଶ ݔ െ ܽݎܿݏ݅݊ ൬

ݔ |ܽ|൰ ൅ ܥ 

න √ܽ ଶ െ ݔଶ ݔଷ ݀ݔ ൌ െ

√ܽଶ െ ݔଶ 2 · ݔଶ ൅

1 2 · ܽ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න √ܽ ଶ െ ݔଶ ݔସ ݀ݔ ൌ െ

ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ 3 · ܽଶ · ݔଷ ൅ ܥ 

  න 1√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ ܽݎܿݏ݅݊ ൬

ݔ |ܽ|൰ ൅ ܥ 

න 1ݔ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ 1 ܽ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ √ܽଶ െ ݔଶ

ܽଶ · ݔ ൅ ܥ 

න 1ݔଷ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ √ܽଶ െ ݔଶ 2 · ܽଶ · ݔଶ െ

1 2 · ܽଷ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔ௡ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ √ܽଶ െ ݔଶ

ሺ݊ െ 1ሻ · ܽଶ · ݔ௡ିଵ ൅ ሺ݊ െ 2ሻ

ሺ݊ െ 1ሻ · ܽଶ 

· න 1ݔ௡ିଶ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ 

න 1ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ ݔ

ܽଶ · √ܽଶ െ ݔଶ ൅ ܥ     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න 1ݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ

1 ܽଶ · √ܽଶ െ ݔଶ െ

1 ܽଷ · ݈݊ ቆቤ

ܽ ൅ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 1

ܽସ · ቆെ √ܽଶ െ ݔଶ

ݔ ൅ ݔ

√ܽଶ െ ݔଶቇ ൅ ܥ 

න 1ݔଷ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ 

ൌ 3 െ ܽ ଶ

2 · ܽସ · √ܽଶ െ ݔଶ െ 3

2 · ܽହ · ݈݊ ቆቤ ܽ ൅ √ܽଶ െ ݔଶ

ݔ ቤቇ ൅ ܥ   

න ݔ√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െඥܽ ଶ െ ݔଶ ൅ ܥ 

න ݔඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 1

√ܽଶ െ ݔଶ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ ݔ 2 · ඥܽଶ െ ݔଶ ൅

ܽଶ 2 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬

ݔ |ܽ|൰ ൅ ܥ 

න ݔ ଶ

ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ ݔ

√ܽଶ െ ݔଶ െ ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ

|ܽ|൰ ൅ ܥ 

න ݔ ଷ

√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ 2 3 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ െ ݔ

ଶ · ඥܽଶ െ ݔଶ ൅ ܥ 

න ݔ ଷ

ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 2 · ඥܽ ଶ െ ݔଶ ൅ ݔ

√ܽଶ െ ݔଶ ൅ ܥ 

න ݔ ௡

√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ ݔ௡ିଵ · √ܽଶ െ ݔଶ

݊ ൅ ሺ݊ െ 1ሻ · ܽଶ

݊ · න ݔ௡ିଶ

√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න ݁௞·௫ ݀ݔ ൌ ݁

݇ ൅ ܥ 

න ݔ · ݁௞·௫ ݀ݔ ൌ ሺ݇ · ݔ െ 1ሻ · ݁ ௞·௫

݇ଶ ൅ ܥ 

න ݔ௡ · ݁௞·௫ ݀ݔ ൌ ݔ ௡ · ݁௞·௫

݇ െ ݊ ݇ · න ݔ

න ݔ · ݁ି௫మ ݀ݔ ൌ െ 12 · ݁ ି௫మ ൅ ܥ 

න ݁ ௞·௫

ݔ௡ ݀ݔ ൌ 1

1 െ ݊ · ݁௞·௫ ݔ௡ିଵ ൅

݇ ݊ െ 1 · න

݁௞·௫ ݔ௡ିଵ ݀ݔ, ݂݋ݎ ݊ ് 1 

න 11 ൅ ݁௞·௫ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ݈݊ ቆ

݁௞·௫ 1 ൅ ݁௞·௫ቇ ൅ ܥ 

න 1ܽ ൅ ܾ · ݁௞·௫ ݀ݔ ൌ ݔ ܽ െ

1 ܽ · ݇ · ݈݊ሺܽ ൅ ܾ · ݁

௞·௫ሻ ൅ ܥ 

න 1ܽ · ݁௞·௫ ൅ ܾ · ݁ି௞·௫ ݀ݔ  ൌ 1݇ · √ܽ · ܾ · ܽݎܿݐܽ݊ ቆ݁

௞·௫ · ටܾܽቇ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ, ܾ ൐ 0 

න ݁ ௞·௫

ܽ ൅ ܾ · ݁௞·௫ ݀ݔ ൌ 1

݇ · ܾ · ݈݊ሺܽ ൅ ܾ · ݁ ௞·௫ሻ ൅ ܥ 

න ݔ · ݁ ௞·௫

ሺ1 ൅ ݇ · ݔሻଶ ݀ݔ ൌ ݁௞·௫

݇ଶ · ሺ1 ൅ ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

න ݁௞·௫ · ݏ݅݊ሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݁ ௞·௫

݇ଶ ൅ ܾଶ · ൫݇ · ݏ݅݊ሺܾ · ݔሻ െ ܾ · ܿ݋ݏሺܾ · ݔሻ൯ ൅ ܥ 

න ݁௞·௫ · ܿ݋ݏሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݁ ௞·௫

݇ଶ ൅ ܾଶ · ൫݇ · ܿ݋ݏሺܾ · ݔሻ ൅ ܾ · ݏ݅݊ሺܾ · ݔሻ൯ ൅ ܥ     

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ݈݊ሺݔሻ െ ݔ ൅ ܥ 

න ݔ · ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ

2 · ݈݊ሺݔሻ െ ݔଶ 4 ൅ ܥ 

න ݔଶ · ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଷ

3 · ݈݊ሺݔሻ െ ݔଷ 9 ൅ ܥ 

න ݔ௡ · ݈݊ሺܽ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ௡ାଵ

݊ ൅ 1 · ݈݊ሺܽ · ݔሻ െ ݔ௡ାଵ

ሺ݊ ൅ 1ሻଶ ൅ ܥ 

න൫݈݊ሺݔሻ൯ଶ ݀ݔ ൌ ݔ · ൫݈݊ሺݔሻ൯ଶ െ 2 · ݔ · ݈݊ሺݔሻ ൅ 2 · ݔ ൅ ܥ 

න൫݈݊ሺݔሻ൯௡ ݀ݔ ൌ ݔ·൫݈݊ሺݔሻ൯௡ െ ݊ · න൫݈݊ሺݔሻ൯௡ିଵ ݀ݔ ݂݋ݎ ݊ ് 1 

න ൫݈݊ሺݔሻ൯ ௡

ݔ ݀ݔ ൌ 1

݊ ൅ 1 · ൫݈݊ሺݔሻ൯ ௡ାଵ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݊ ് െ1 

න 1ݔ · ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݈݊൫݈݊ሺݔሻ൯ ൅ ܥ 

න 1ݔ · ൫݈݊ሺݔሻ൯௡ ݀ݔ ൌ 1

ሺ1 െ ݊ሻ · ൫݈݊ሺݔሻ൯௡ିଵ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݊ ് 1 

න ݈݊ሺܽ · ݔ ൅ ܾሻ ݀ݔ ൌ ܽ · ݔ ൅ ܾܽ · ݈݊ሺܽ · ݔ ൅ ܾሻ െ ݔ ൅ ܥ 

න ݈݊ሺܽ · ݔ ൅ ܾሻݔଶ ݀ݔ ൌ ܽ ܾ · ݈݊ሺݔሻ െ

ܽ · ݔ ൅ ܾ ܾ · ݔ · ݈݊ሺܽ · ݔ ൅ ܾሻ ൅ ܥ 

න ݈݊ ൬ݔ ൅ ܽݔ െ ܽ൰ ݀ݔ ൌ ሺݔ ൅ ܽሻ · ݈݊ሺݔ ൅ ܽሻ െ ሺݔ െ ܽሻ · ݈݊ሺݔ െ ܽሻ ൅ ܥ 

න 1ݔଶ · ݈݊ ൬ ݔ ൅ ܽ ݔ െ ܽ൰ ݀ݔ ൌ

1 ݔ · ݈݊ ቀ

ݔ െ ܽ ݔ ൅ ܽቁ െ

1 ܽ · ݈݊ ቆ

ݔଶ െ ܽଶ ݔଶ ቇ ൅ ܥ 

______________________________________________________________________

Integrals (cont.)  න sinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െcosሺ݇ · ݔሻ݇ ൅ ܥ 

න cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ݇ ൅ ܥ 

න tanሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െln ሺ|cosሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ൅ ܥ 

න cotሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ lnሺ|sinሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ൅ ܥ 

න cscሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ lnሺ|cscሺ݇ · ݔሻ െ cotሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ൅ ܥ 

න secሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ lnሺ|secሺ݇ · ݔሻ ൅ tanሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ൅ ܥ 

න sinଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ2 െ sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ

2 · ݇ ൅ ܥ 

න cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ2 ൅ sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ

2 · ݇ ൅ ܥ 

න tanଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1݇ · ݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ െ ݔ ൅ ܥ 

න cscଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െcotሺ݇ · ݔሻ݇ ൅ ܥ 

න secଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ tanሺ݇ · ݔሻk ൅ ܥ 

න cotଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1݇ · ܿ݋ݐሺ݇ · ݔሻ െ ݔ ൅ ܥ 

න sinଷሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 13 · ݇ · ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ · ሺsin ଶሺ݇ · ݔሻ ൅ 2ሻ ൅ ܥ 

න cosଷሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 13 · ݇ · ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ · ሺcos ଶሺ݇ · ݔሻ ൅ 2ሻ ൅ ܥ 

______________________________________________________________________

න 1sinଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1 ݇ · cotሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

න 1cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · tanሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

  න sinሺܽ · ݔሻ · sinሺܾ · ݔሻ ݀ݔ  ൌ ݏ݅݊ሺܽ െ ܾሻ · ݔ2 · ሺܽ െ ܾሻ െ

ݏ݅݊ሺܽ ൅ ܾሻ · ݔ 2 · ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ

ଶ ് ܾଶ 

න cosሺܽ · ݔሻ · cosሺܾ · ݔሻ ݀ݔ  ൌ ݏ݅݊ሺܽ െ ܾሻ · ݔ2 · ሺܽ െ ܾሻ ൅

ݏ݅݊ሺܽ ൅ ܾሻ · ݔ 2 · ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ

ଶ ് ܾଶ 

න sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 12 · ݇ · sin ଶሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

න sinሺܽ · ݔሻ · cosሺܾ · ݔሻ ݀ݔ  ൌ െ ܿ݋ݏሺܽ െ ܾሻ · ݔ2 · ሺܽ െ ܾሻ െ

ܿ݋ݏሺܽ ൅ ܾሻ · ݔ 2 · ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܥ ݂݋ݎ ܽ

ଶ ് ܾଶ 

න cscሺ݇ · ݔሻ · cotሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െcscሺ݇ · ݔሻ݇ ൅ ܥ 

න secሺ݇ · ݔሻ · tanሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ secሺk · xሻk ൅ ܥ 

න sinଶሺ݇ · ݔሻ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 132 · ݇ · ݏ݅݊ሺ4 · ݇ · ݔሻ ൅ ݔ 8 ൅ ܥ 

න 1sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ݈݊ሺ|ݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ|ሻ ൅ C 

න 1sinሺ݇ · ݔሻ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ൭secሺ݇ · ݔሻ൅݈݊ ൬ฬݐܽ݊ ൬

݇ · ݔ 2 ൰ฬ൰൱ ൅ܥ 

______________________________________________________________________

න 1sinଶሺ݇ · ݔሻ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 2 ݇ · ܿ݋ݐሺ2 · ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

  න sinሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1b · cosሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ൅ ܥ 

න cosሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1b · sinሺܽ ൅ ܾ · ݔሻ ൅ ܥ   

න 11 ൅ cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ݐܽ݊ ൬

݇ · ݔ 2 ൰ ൅ ܥ 

න 11 െ cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1 ݇ · ܿ݋ݐ ൬

݇ · ݔ 2 ൰ ൅ ܥ 

 

න ݔ · sinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1݇ଶ · sinሺ݇ · ݔሻ െ ݔ ݇ · cosሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

න ݔ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1݇ଶ · cosሺ݇ · ݔሻ ൅ ݔ ݇ · sinሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

 

න ݔଶ · sinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ݔ݇ଶ · sinሺ݇ · ݔሻ ൅ 2 െ ݇ଶ · ݔଶ

݇ଷ · cosሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

න ݔଶ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ݔ݇ଶ · cosሺ݇ · ݔሻ ൅ ݇ଶ · ݔଶ െ 2

݇ଷ · sinሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

 

න ݔ · sinଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ

4 െ ݔ

4 · ݇ · ݏ݅݊ሺ2·݇·ݔሻ െ 1

8 · ݇ଶ · ܿ݋ݏሺ2·݇·ݔሻ ൅ ܥ 

න ݔ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ

4 ൅ ݔ

4 · ݇ · ݏ݅݊ሺ2·݇·ݔሻ ൅ 1

8 · ݇ଶ · ܿ݋ݏሺ2·݇·ݔሻ ൅ ܥ     

______________________________________________________________________

න ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻݔ௡ ݀ݔ ൌ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ

ሺ1 െ ݊ሻ · ݔ௡ିଵ ൅ ݇

݊ െ 1 · න ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ

ݔ௡ିଵ ݀ݔ 

න ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻݔ௡ ݀ݔ ൌ ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ

ሺ1 െ ݊ሻ · ݔ௡ିଵ ൅ ݇

1 െ ݊ · න ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ

ݔ௡ିଵ ݀ݔ 

න ݔ1 േ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ט ݔ · ܿ݋ݏሺ݇·ݔሻ

݇·൫1 േ ݏ݅݊ሺ݇·ݔሻ൯ ൅ 1

݇ଶ · ݈݊ሺ|1 േ ݏ݅݊ሺ݇·ݔሻ|ሻ൅ܥ 

න ݔ1 ൅ ܿ݋ݏሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ݇ ·ݐܽ݊ ൬

݇ · ݔ 2 ൰ ൅

2 ݇ଶ ·݈݊ ൬ฬܿ݋ݏ ൬

݇ · ݔ 2 ൰ฬ൰ ൅ܥ 

න ݔ1 െ ܿ݋ݏሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ െ ݔ ݇ ·ܿ݋ݐ ൬

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න ඥ1 ൅ ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ݇ · ඥ1 ൅ ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ ൅ ܥ 

න ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ1 േ ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ט 1 ݇ · ݈݊ሺ|1 േ ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ|ሻ ൅ ܥ 

න ܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ1 േ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ േ 1 ݇ · ݈݊ሺ|1 േ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ|ሻ ൅ ܥ 

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______________________________________________________________________

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݇ ൅ ܥ 

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න arccscሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿܿݏܿሺ݇ · ݔሻ൅ lnሺห݇ · ݔ൅√݇ ଶ · ݔଶ െ 1หሻ

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න arccos ቀݔ݇ቁ ݀ݔ ൌ ݔ · arccos ቀ ݔ ݇ቁ െ ඥ݇ଶ െ ݔଶ ൅ ܥ ݂݋ݎ ݇ ൐ 0 

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න ݔ · ܽݎܿܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 14 · ݇ଶ ሺሺ2 · ݇ଶ · ݔଶ െ 1ሻ · ܽݎܿܿ݋ݏሺ݇ · ݔሻ  െ݇ · ݔ · ඥ1 െ ݇ଶ · ݔଶሻ ൅ ܥ   

න ݔ · ܽݎݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ൅ ݇ ଶ · ݔଶ

2 · ݇ଶ · ܽݎݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ െ ݔ

2 · ݇ ൅ ܥ 

 

න ݔ · ܽݎܿܿ݋ݐሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ൅ ݇ ଶ · ݔଶ

2 · ݇ଶ · ܽݎܿ݋ݐሺ݇ · ݔሻ ൅ ݔ

2 · ݇ ൅ ܥ 

 

න ݔ·ܽݎܿݏ݁ܿሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ

2 · ܽݎܿݏ݁ܿሺ݇·ݔሻ െ 1

2 · ݇ଶ ·ඥ݇ଶ·ݔଶ െ 1൅ܥ 

 

න ݔ·ܽݎܿܿݏܿሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ

2 · ܽݎܿݏܿሺ݇·ݔሻ ൅ 1

2 · ݇ଶ ·ඥ݇ଶ·ݔଶ െ 1൅ܥ 

   

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