chapter
Mechanics of Materials
Pages 20

V ൅dV

M ൅dMq q

dx

______________________________________________________________________

General Forms 

   

Note: For very small deflections ݐܽ݊ሺߠሻ ൎ ߠ     

Simple Beams 

Bending Moment: ܯ ൌ ܧ · ܫ · ݀ ଶv

݀ݔଶ 

Shear Force: ܸ ൌ ܧ · ܫ · ݀ ଷv

݀ݔଷ ൌ ݀ܯ ݀ݔ  

Load: െ ݍ ൌ ܧ · ܫ · ݀ ସv

݀ݔସ ൌ ܸ݀ ݀ݔ  

x

y

vሺݔሻ

v ൌ beam deflection ሺ൅upሻ θA ൌ angle of rotation at end A ሺ൅clockwiseሻ θB ൌ angle of rotation at end B ሺ൅counterclockwiseሻ

A B

x

y

Cantilever Beams  vሺݔሻ

v ൌ beam deflection ሺ൅upሻ

A B ߠ஻

θB ൌ angle of rotation at end ܤ ሺ൅clockwiseሻ

______________________________________________________________________

  Cantilever Beams 

v ൌ െ ܯ௢ · ݔ ଶ

2 · ܧ · ܫ ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ Mo

L a b

θB ൌ ܯ௢ · aܧ · ܫ

v ൌ െ ܯ௢ · a2 · ܧ · ܫ · ሺ2 · ݔ െ aሻ   ݂݋ݎ ሺa ൑ ݔ ൑ ܮሻ

L

v ൌ െ ܯ௢ · ݔ ଶ

2 · ܧ · ܫ Mo

θB ൌ ܯ௢ · ܮܧ · ܫ

L

v ൌ െ ܲ · ݔ ଶ

6 · ܧ · ܫ · ሺ3 · a െ ݔሻ   ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ P

a b v ൌ െ ܲ · a

6 · ܧ · ܫ · ሺ3 · ݔ െ aሻ   ݂݋ݎ ሺa ൑ ݔ ൑ ܮሻ θB ൌ ܲ · a

2 · ܧ · ܫ

L

v ൌ െ ܲ · ݔ ଶ

6 · ܧ · ܫ · ሺ3 · ܮ െ ݔሻ

θB ൌ ܲ · ܮ ଶ

2 · ܧ · ܫ

P

______________________________________________________________________

  Cantilever Beams (cont.)   

L

q

a b

v ൌ െ ݍ24 · ܧ · ܫ · ሺݔ ସ െ 4 · ܮ · ݔଷ ൅ 6 · ܮଶ · ݔଶ െ 4 · aଷ · ݔ ൅ aସሻ

݂݋ݎ ሺa ൑ ݔ ൑ ܮሻ

v ൌ െ ݍ · ܾ · ݔ ଶ

12 · ܧ · ܫ · ሺ3 · ܮ ൅ 3 · a െ 2 · ݔሻ ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ

θB ൌ ݍ6 · ܧ · ܫ · ሺܮ ଷ െ aଷሻ

L

q v ൌ െ ݍ · ݔ ଶ

24 · ܧ · ܫ · ሺ6 · a ଶ െ 4 · a · ݔ ൅ ݔଶሻ

a b ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ

v ൌ െ ݍ · a ଷ

24 · ܧ · ܫ · ሺ4 · ݔ െ aሻ ݂݋ݎ ሺa ൑ ݔ ൑ ܮሻ

θB ൌ ݍ · a ଷ

6 · ܧ · ܫ

L

q v ൌ െ ݍ · ݔ

24 · ܧ · ܫ · ሺ6 · ܮ ଶ െ 4 · ܮ · ݔ ൅ ݔଶሻ

θB ൌ ݍ · ܮ ଷ

6 · ܧ · ܫ

______________________________________________________________________

  Cantilever Beams (cont.) 

    

ݍ ൌ ݍ௢ · ܿ݋ݏ ቀߨ · ݔ2 · ܮቁ qo

L

v ൌ െ ݍ௢·ܮ3·ߨସ·ܧ·ܫ · ቀ48·ܮ ଷ·ܿ݋ݏ ቀߨ·ݔ2·ܮቁ െ 48 · ܮ

ଷ ൅ 3·ߨଷ·ܮ·ݔଶ െ ߨଷ·ݔଷቁ

θB ൌ ݍ௢ · ܮ ଷ

ߨଷ · ܧ · ܫ · ሺߨ ଶ െ 8ሻ

L

v ൌ െ ݍ௢ · ݔ ଶ

120 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ20 · ܮ ଷ െ 10 · ܮଶ · ݔ ൅ ݔଷሻ

θB ൌ ݍ௢ · ܮ ଷ

8 · ܧ · ܫ

L v ൌ െ ݍ௢ · ݔ

120 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ10 · ܮ ଷ െ 10 · ܮଶ · ݔ ൅ 5 · ܮ · ݔଶ െ ݔଷሻ

θB ൌ ݍ௢ · ܮ ଷ

24 · ܧ · ܫ

______________________________________________________________________

  Simple Beams   

P v ൌ െ ܲ · ݔ6 · ܧ · ܫ · ሺ3 · a · ܮ െ 3 · aଶ െ ݔଶሻ

ܮ

݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ a

P

v ൌ െ ܲ · a6 · ܧ · ܫ · ሺ3 · ݔ · ܮ െ 3 · ݔ ଶ െ aଶሻ

݂݋ݎ ሺa ൑ ݔ ൑ ܮ െ aሻ

θA ൌ θB ൌ ܲ · a · ሺܮ െ aሻ

2 · ܧ · ܫ

P v ൌ െ ܲ · ܾ · ݔ6 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺܮ

ଶ െ ܾଶ െ ݔଶሻ

ܮ ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ a  ܾ

θA ൌ ܲ · a · ܾ · ሺܮ ൅ ܾሻ

6 · ܮ · ܧ · ܫ θB ൌ ܲ · a · ܾ · ሺܮ ൅ aሻ

6 · ܮ · ܧ · ܫ

ܮ 2 

P v ൌ െ ܲ · ݔ48 · ܧ · ܫ · ሺ3 · ܮ

ଶ െ 4 · ݔଶሻ

ܮ ܮ 2 ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ ܮ2ሻ

θA ൌ θB ൌ ܲ · ܮ ଶ

16 · ܧ · ܫ

______________________________________________________________________

  Simple Beams (cont.)   

a ܮ

ܾ ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ Mo v ൌ െ ܯ௢·ݔ6·ܮ·ܧ·ܫ ·ሺ6·a·ܮ െ 3·aଶ െ 2·ܮଶ െ ݔଶሻ

θA ൌ ܯ௢6 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ6 · a · ܮ െ 3 · a ଶ െ 2 · ܮଶሻ

θB ൌ ܯ௢6 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ3 · a ଶ െ ܮଶሻ

ܮ 2  ܮ

ܮ 2  ݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ ܮ2ሻ

Mo v ൌ െ ܯ௢ · ݔ24 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺܮ

ଶ െ 4 · ݔଶሻ

θA ൌ ܯ௢ · ܮ24 · ܧ · ܫ θB ൌ െ ܯ௢ · ܮ

6 · ܧ · ܫ

v ൌ െ ܯ௢·ݔ6·ܮ·ܧ·ܫ ·ሺ2 · ܮ ଶ െ 3 · ܮ · ݔ ൅ ݔଶሻ

ܮ

θA ൌ ܯ௢ · ܮ3 · ܧ · ܫ θB ൌ ܯ௢ · ܮ

6 · ܧ · ܫ

______________________________________________________________________

  Simple Beams (cont.)   

q

ܮ

ܮ 2 

v ൌ െ ݍ · ܮ384 · ܧ · ܫ · ሺ8 · ݔ ଷ െ 24 · ܮ · ݔଶ ൅ 17 · ܮଶ · ݔ െ ܮଷሻ

݂݋ݎ ൬ܮ2 ൑ ݔ ൑ ܮ൰

θA ൌ 3 · ݍ · ܮ ଷ

128 · ܧ · ܫ θB ൌ 7 · ݍ · ܮଷ

384 · ܧ · ܫ

v ൌ െ ݍ·ݔ384·ܧ·ܫ ·ሺ9·ܮ ଷ െ 24·ܮ · ݔଶ൅16·ݔଷሻ

݂݋ݎ ൬0 ൑ ݔ ൑ ܮ2൰

q v ൌ െ ݍ · ݔ24 · ܧ · ܫ · ሺܮ

ଷ െ 2 · ܮ · ݔଶ ൅ ݔଷሻ

ܮ

θA ൌ θB ൌ ݍ · ܮ ଷ

24 · ܧ · ܫ

ܮ

Mo v ൌ െ ܯ௢ · ݔ2 · ܧ · ܫ · ሺܮ െ ݔሻ Mo

θA ൌ θB ൌ ܯ௢ · ܮ2 · ܧ · ܫ

______________________________________________________________________

  Simple Beams (cont.) 

 

 

ݍ ൌ ݍ௢·ݏ݅݊ ቀߨ·ݔܮ ቁ

ܮ θA ൌ θB ൌ ݍ଴ · ܮଷ ߨଷ · ܧ · ܫ 

v ൌ െ ݍ௢ · ܮ ସ

ߨସ · ܧ · ܫ · ݏ݅݊ ቀ ߨ · ݔ ܮ ቁ 

ܮ ܮ 2  ܮ2

θA ൌ θB ൌ 5 · ݍ଴ · ܮ ଷ

192 · ܧ · ܫ 

v ൌ െ ݍ௢ · ݔ960 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ5 · ܮ ଶ െ 4 · ݔଶሻଶ 

݂݋ݎ ൬0 ൑ ݔ ൑ ܮ2൰ 

v ൌ െ ݍ௢ · ݔ360 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ7 · ܮ ସ െ 10 · ܮଶ · ݔଶ ൅ 3 · ݔସሻ 

ܮ

θA ൌ 7 · ݍ௢ · ܮ ଷ

360 · ܧ · ܫ

θB ൌ ݍ௢ · ܮ ଷ

45 · ܧ · ܫ

q

v ൌ െ ݍ·ݔ24·ܮ·ܧ·ܫ ·ሺa ସ െ 4·aଷ·ܮ൅4·aଶ·ܮଶ൅2·aଶ·ݔଶ െ 4·a·ܮ·ݔଶ൅ܮ·ݔଷሻ 

݂݋ݎ ሺ0 ൑ ݔ ൑ aሻ  v ൌ െ ݍ·a

24·ܮ·ܧ·ܫ ·ሺെa ଶ·ܮ ൅ 4·ܮଶ·ݔ ൅ aଶ·ݔ െ 6·ܮ·ݔଶ ൅ 2·ݔଷሻ 

݂݋ݎ ሺa ൑ ݔ ൑ ܮሻ 

θA ൌ ݍ · a ଶ

24 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ2 · ܮ െ aሻ ଶ 

θB ൌ ݍ · a ଶ

24 · ܮ · ܧ · ܫ · ሺ2 · ܮ ଶ െ aଶሻ 

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Columns with Pinned Ends 

Columns Fixed at Base and Free at Top 

A

B

L

Point A, fixed  Point B,  unsupported  ௖ܲ௥ൌ

ߨଶ·ܧ·ܫ 4·ܮଶ

௖ܲ௥ൌ 9·ߨ ଶ·ܧ·ܫ

௖ܲ௥ൌ 25·ߨ ଶ·ܧ·ܫ

A

B

L

௖ܲ௥ ௖ܲ௥ ܲ  Point A, free   to rotate  Point B, free   to rotate   and slide up   and down 

௖ܲ௥ ൌ ߨ ଶ · ܧ · ܫ

ܮଶ ௖ܲ௥ ൌ 4 · ߨଶ · ܧ · ܫ

A

B

L

Point A, fixed  Point B, fixed

௖ܲ௥ ൌ 4 · ߨ ଶ · ܧ · ܫ ܮଶ

______________________________________________________________________

   ߪ௫ଵ ൌ ߪ௫ ൅ ߪ௬2 ൅

ߪ௫ െ ߪ௬ 2 · ܿ݋ݏሺ2 · ߴሻ ൅ ߬௫௬ · ݏ݅݊ሺ2 · ߴሻ 

ߪ௬ଵ ൌ ߪ௫ ൅ ߪ௬ 2 െ

ߪ௫ െ ߪ௬ 2 · ܿ݋ݏሺ2 · ߴሻ െ ߬௫௬ · ݏ݅݊ሺ2 · ߴሻ 

ߪ௫ଵ ൅ ߪ௬ଵ ൌ ߪ௫ ൅ ߪ௬  ߬௫௬ ൌ ߬௬௫ 

߬௬ଵ௫ଵ ൌ ߬௫ଵ௬ଵ ൌ െߪ௫ െ ߪ௬2 · ݏ݅݊ሺ2 · ߴሻ ൅ ߬௫௬ · ܿ݋ݏሺ2 · ߴሻ   

Principal Stresses  ݐܽ݊൫2 · ߴ௣൯ ൌ 2 · ߬௫௬ߪ௫ െ ߪ௬ 

ߪଵ,ଶ ൌ ߪ௫ ൅ ߪ௬2 േ ඨቀ ߪ௫ െ ߪ௬

2 ቁ ଶ ൅ ൫߬௫௬൯ଶ 

߬௠௔௫ ൌ ඨቀߪ௫ െ ߪ௬2 ቁ ଶ ൅ ൫߬௫௬൯ଶ ൌ ߪଵ െ ߪଶ2  

______________________________________________________________________

                 Stress                       Max Shear Stress  ܲ ൌ ݌ · ߨ · ݎଶ ߪ ൌ ݌ · ݎ2 · ݐ ߬௠௔௫ ൌ

݌ · ݎ 4 · ݐ ൌ

ߪ 2 

         Longitudinal Pressure Force  ଵܲ ൌ 2 · ݌ · ܮ · ݎ ଶܲ ൌ ݌ · ߨ · ݎଶ 

  Circumferential Stress    Longitudinal Stress     Max Shear Stress  ߪଵ ൌ ݌ · ݎݐ ߪଶ ൌ

݌ · ݎ 2 · ݐ ߬௠௔௫ ൌ

݌ · ݎ 2 · ݐ ൌ

ߪଵ 2  

  Note: ݌ ൌ gage pressure     

ݎ ݐ

ߪଵ 

L

ݎ ݐ

ߪ 

ܲ

  Circumferential Pressure Force

  Pressure Force

______________________________________________________________________

   

______________________________________________________________________