chapter
Aerodynamics
Pages 18

Trailing   Edge 

Chord Line 

Camber  Thickness

  Chord,   c

Mean  Camber  Line 

Leading   Edge 

Trailing   Edge 

Chord Line 

Thickness

 Chord,   c

______________________________________________________________________

ܿ௧ 

b

ܿ௥  

b/2 

ܣܴ ൌ ܾ ଶ

ܵ ൌ 2 · ܾ

ܿ௥ · ሺ1 ൅ ߣሻ

Aspect Ratio 

cത ൌ 23 · ൬ܿ௥ ൅ ܿ௧ െ ܿ௥ · ܿ௧

ܿ௥ ൅ ܿ௧൰ Mean Aerodynamic Chord 

ߣ ൌ ܿ௧ܿ௥   Taper Ratio

ܿଵ/ସquarter chord,

cത

ܵ ൌ ܾ ଶ

ܣܴ  Area 

ܿ௧ 

______________________________________________________________________

ܯஶ ൏ 0.3 

  Subsonic Compressible Flow  0.3 ൏ ܯஶ ൏ 0.7 

  Transonic Flow  0.7 ൏ ܯஶ ൏ 1.2 

  Supersonic Flow  1.2 ൏ ܯஶ ൏ 5 

  Hypersonic Flow  5 ൏ ܯஶ 

  Continuity Equation (Mass Flow Rate)  ܣଵ · ଵܸ ൌ ܣଶ · ଶܸ  ߩଵ ൌ ߩଶ 

  Bernoulli’s Equation  ܲ ൅ 12 · ߩ · ܸ

ଶ ൌ ଴ܲ ൌ constant along stream line 

ଵܲ ൅ 12 · ߩ · ଵܸ ଶ ൌ ଶܲ ൅ 12 · ߩ · ଶܸ

ܣଶ ܣଵ  ଵܲ 

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  For flow that is isentropic (adiabatic and reversible) 

  State Equation 

ଵܲ ൌ ߩଵ · ܴ · ଵܶ  ଶܲ ൌ ߩଶ · ܴ · ଶܶ 

  Continuity Equation (Mass Flow Rate)  ߩଵ · ܣଵ · ଵܸ ൌ ߩଶ · ܣଶ · ଶܸ 

ൌ ൬ߩ଴ଵߩଵ ൰ ఊ

ሺఊିଵሻ ൌ ൬1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଵ ଶ൰

ൌ ൬ߩ଴ଶߩଶ ൰ ఊ

ሺఊିଵሻ ൌ ൬1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଶ ଶ൰

൫ ଴ܲଵ ଵܲ⁄ ൯ ିଵ ൌ ൭

൫ߩ଴ଶ ߩଶ⁄ ൯ ିଵ

൫ߩ଴ଵ ߩଵ⁄ ൯ ିଵ൱

ఊ ൌ ൭൫ ଴ܶଶ ଶܶ⁄ ൯

 

ൌ ൬ߩଶߩଵ൰ ఊ

ሺఊିଵሻ ൌ ቌ1 ൅ ߛ െ 1

2 · ܯଵଶ

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଶଶ ቍ

Energy Equation  ܿ௣ · ଵܶ ൅ 12 · ଵܸ

ଶ ൌ ܿ௣ · ଶܶ ൅ 12 · ଶܸ ଶ 

ܣଶ ܣଵ 

ߩଵ  ଵܸ 

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ܥ௣,௖௥ ൌ 2ߛ · ሺܯ௖௥ሻଶ · ቌቆ 2 ൅ ሺߛ െ 1ሻ · ሺܯ௖௥ሻଶ

ߛ ൅ 1 ቇ ఊ

ሺఊିଵሻ െ 1ቍ 

Supersonic Flow    Speed of Sound                           Mach Number  a ൌ ඥߛ · ܴ · ܶ M ൌ ܸa  

  Density, Pressure, and Temperature Ratios (see Appendix E)  ߩଶ ߩଵ ൌ

ሺߛ ൅ 1ሻ · ܯଵଶ ሺߛ െ 1ሻ · ܯଵଶ ൅ 2 

ൌ 1 ൅ 2 · ߛߛ ൅ 1 · ൫ܯଵ ଶ െ 1൯ 

ൌ ቀ2 · ߛ · ܯଵ ଶ െ ሺߛ െ 1ሻቁ · ቀሺߛ െ 1ሻ · ܯଵଶ ൅ 2ቁ

ሺߛ ൅ 1ሻଶ · ܯଵଶ    

Mach Number after Shockwave (see Appendix E) 

ܯଶ ൌ ඨ ሺߛ െ 1ሻ · ܯଵଶ ൅ 2

2 · ߛ · ܯଵଶ െ ሺߛ െ 1ሻ     

ܯଵ  ܯଶ

ܯ௖௥ ൏ 1 Normal Shock

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   Deflection Angle (Radians)  ߠ ൌ ߚ െ arctan ቆݐܽ݊ሺߚሻ · ሺߛ െ 1ሻ · ܯଵ

ଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ ൅ 2 ሺߛ ൅ 1ሻ · ܯଵଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ ቇ 

  Density, Pressure, and Temperature Ratios  ߩଶ ߩଵ ൌ

ሺߛ ൅ 1ሻ · ܯଵଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ ሺߛ െ 1ሻ · ܯଵଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ ൅ 2 

ଶܲ ଵܲ ൌ 1 ൅ 2 · ߛߛ ൅ 1 · ൫ܯଵ

ଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ െ 1൯ 

ଶܶ ଵܶ ൌ 1൅2·ሺߛ െ 1ሻ·൫ܯଵ

ଶ·ݏ݅݊ଶሺߚሻ െ 1൯ ሺߛ ൅ 1ሻଶ·ܯଵଶ·ݏ݅݊ଶሺߚሻ ·൫ߛ · ܯଵ

ଶ·ݏ݅݊ଶሺߚሻ൅1൯   

Mach Number after Shockwave 

ܯଶ ൌ 1ݏ݅݊ሺߚ െ ߠሻ · ඩ 1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଵଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ ߛ · ܯଵଶ · ݏ݅݊ଶሺߚሻ െ ߛ െ 12

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  Isentropic Ratios (see Appendix D) 

ߩଶ ߩଵ ൌ

൫ߩ଴ଶ ߩଶ⁄ ൯ ିଵ

൫ߩ଴ଵ ߩଵ⁄ ൯ ିଵ ൌ ቌ

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଵଶ

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଶଶ ቍ

 

൫ ଴ܲଵ ଵܲ⁄ ൯ ିଵ ൌ ቌ

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଵଶ

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଶଶ ቍ

 

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଵଶ

1 ൅ ߛ െ 12 · ܯଶଶ  

  Solving for Mach Number after Expansion Fan 

ߞൌඨߛ ൅ 1ߛ െ 1 ·ݐܽ݊ ିଵ ቌඨߛ െ 1ߛ ൅ 1 · ൫ܯଵ

ଶ െ 1൯ቍ െ ݐܽ݊ିଵ ቆට൫ܯଵଶ െ 1൯ቇ ൅ ߠ 

ߞൌඨߛ ൅ 1ߛ െ 1 ·ݐܽ݊ ିଵ ቌඨߛ െ 1ߛ ൅ 1 · ൫ܯଶ

ଶ െ 1൯ቍ െ ݐܽ݊ିଵ ቆට൫ܯଶଶ െ 1൯ቇ 

Determine M2 by inputting different values   of M2 until both parameters are equal 

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  Lift Coefficient  ܥ௟ ൌ ܮ1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ  

  Parasite Drag Coefficient  ܥௗ,௣ ൌ ܦ௣1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ  

ܥௗ,௜ ൌ ܦ௜1 2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ

ൌ ܮ · ݏ݅݊ሺߙ௜ሻ1 2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ

 

ߨ · ݁ · ܣܴ    

Wave Drag Coefficient (approx. for flat-plate and low angles of attack) 

ܥௗ,௪ ൌ 4 · ߙ ଶ

ඥܯஶଶ െ 1 Note: α is in Radians 

  Total Drag Coefficient  ܥௗ ൌ ܦ1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ ൌ ܥௗ,௣ ൅ ܥௗ,௜ ൅ ܥௗ,௪ 

α ஶܸ 

αi  Finite Wings 

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ܥ௣ ൌ ܲ െ ஶܲ1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ  

  Pitching Moment Coefficient  ܥ௠,௣ ൌ ݉௣1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ · cത  

  Rolling Moment Coefficient  ܥ௠,௥ ൌ ݉௥1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ · ܾ  

  Yawing Moment Coefficient  ܥ௠,௬ ൌ ݉௬1

2 · ߩஶ · ஶܸଶ · ܵ · ܾ  

  Subsonic Compressibility Correction to Lift, Pressure, and  Moment Coefficients  ܥ௟,௖ ൌ ܥ௟ඥ1 െ ܯஶଶ

ܥ௣,௖ ൌ ܥ௣ඥ1 െ ܯஶଶ  

ܥ௠,௖ ൌ ܥ௠ඥ1 െ ܯஶଶ  

  Supersonic Pressure Coefficient 

ܥ௣,௦௦ ൌ 2ߛ · ܯଵଶ · ۉ ۇቌ1 ൅

1 2 · ሺߛ െ 1ሻ · ܯଵଶ

1 ൅ 12 · ሺߛ െ 1ሻ · ܯଶଶ ቍ

െ 1 ی ۊ 

    ______________________________________________________________________

Flat Plate Approximation for Incompressible Flow 

  Local Reynolds Number  ܴ݁௫ ൌ ߩஶ · ஶܸ · ݔߤஶ  

  Boundary Layer Thickness for Laminar Flow  ߜ ൌ 5.2 · ݔඥܴ݁௫

Local Skin Friction Coefficient for Laminar Flow  ܥ௙௫ ൌ 0.664ඥܴ݁௫

Transition Conditions  ܴ݁௫ ൎ 3.5 · 10ହ ՜ 4 · 10଺ 

Laminar flow Turbulent flow Transitionx 

δ

Velocity Profile for laminar flow 

ߜݕ ݔ

Laminar flow  Turbulent flow 

Boundary Layer (viscous flow)

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True Airspeed 

௧ܸ ൌ ඨ2 · ሺ ଴ܲ െ ஶܲሻ

ߩஶ  

  Equivalent Airspeed 

௘ܸ ൌ ඨ2 · ሺ ଴ܲ െ ஶܲሻ

ߩ௦ ൌ ௧ܸ · ඨ ߩஶ ߩ௦  

    

Subsonic Compressible Flow   

True Airspeed 

௧ܸ ൌ ඩ2 · aஶ ଶ

ߛ െ 1 · ቌ൬ ଴ܲ

ఊିଵ ఊ െ 1ቍ 

ൌඩ2 · aஶ ଶ

ߛ െ 1 · ቌ൬ ଴ܲ െ ஶܲ

ஶܲ ൅ 1൰

ఊିଵ ఊ െ 1ቍ 

  Calibrated Airspeed 

௖ܸ ൌ ඩ2 · a௦ ଶ

ߛ െ 1 · ቌ൬ ଴ܲ െ ஶܲ

௦ܲ ൅ 1൰

ఊିଵ ఊ െ 1ቍ 

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

   

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