chapter
Attitude Determination
Pages 10

S߰·ܵߠ ܥ߰·ܥ߶ െ ܵ߰·ܥߠ·ܵ߶ ܥ߰·ܵ߶ ൅ ܵ߰·ܥߠ·ܥ߶ C߰·ܵߠ െܵ߰·ܥ߶ െ ܥ߰·ܥߠ·ܵ߶ െܵ߰·ܵ߶ ൅ ܥ߰·ܥߠ·ܥ߶

൩ 

  Sequence:   1-3-1 

൥ ܥߠ ܵߠ·ܥ߶ ܵߠ·ܵ߶

െC߰·ܵߠ C߰·ܥߠ·ܥ߶ െ ܵ߰·S߶ C߰·ܥߠ·ܵ߶ ൅ ܵ߰·C߶ S߰·ܵߠ െS߰·ܥߠ·ܥ߶ െ ܥ߰·S߶ െS߰·ܥߠ·ܵ߶ ൅ ܥ߰·C߶

൩ 

  Sequence:   2-1-2 

൥ ܥ߰·ܥ߶ െ ܵ߰·ܥߠ·ܵ߶ S߰·ܵߠ െܥ߰·ܵ߶ െ ܵ߰·ܥߠ·ܥ߶

ܵߠ·ܵ߶ ܥߠ ܵߠ·ܥ߶ ܵ߰·ܥ߶ ൅ ܥ߰·ܥߠ·ܵ߶ െC߰·ܵߠ െܵ߰·ܵ߶ ൅ ܥ߰·ܥߠ·ܥ߶

൩ 

  Sequence:   2-3-2  ൥ C߰·ܥߠ·ܥ߶ െ ܵ߰·S߶ C߰·ܵߠ െC߰·ܥߠ·ܵ߶ െ ܵ߰·C߶

െܵߠ·ܥ߶ ܥߠ ܵߠ·ܵ߶ S߰·ܥߠ·ܥ߶ ൅ ܥ߰·S߶ S߰·ܵߠ െS߰·ܥߠ·ܵ߶ ൅ ܥ߰·C߶

൩ 

  Sequence:   3-1-3 

൥ ܥ߰·ܥ߶ െ ܵ߰·ܥߠ·ܵ߶ ܥ߰·ܵ߶ ൅ ܵ߰·ܥߠ·ܥ߶ S߰·ܵߠ

െܵ߰·ܥ߶ െ ܥ߰·ܥߠ·ܵ߶ െܵ߰·ܵ߶ ൅ ܥ߰·ܥߠ·ܥ߶ C߰·ܵߠ ܵߠ·ܵ߶ െܵߠ·ܥ߶ ܥߠ

൩ 

  Sequence:   3-2-3 

൥ C߰·ܥߠ·ܥ߶ െ ܵ߰·S߶ C߰·ܥߠ·ܵ߶ ൅ ܵ߰·C߶ െC߰·ܵߠ

െS߰·ܥߠ·ܥ߶ െ ܥ߰·S߶ െS߰·ܥߠ·ܵ߶ ൅ ܥ߰·C߶ S߰·ܵߠ ܵߠ·ܥ߶ Sߠ·ܵ߶ ܥߠ

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  Rotation Angle about Fixed-Axis Vector (see p. 338 for ሾࡹሿ) 

Φ ൌ ܿ݋ݏିଵ ቆ12 ሺܯଵଵ ൅ ܯଶଶ ൅ ܯଷଷ െ 1ሻቇ   

Fixed-Axis Vector (see p. 338 for ሾࡹሿ) 

ࢋሬԦ ൌ ൥ ݁௫݁௬݁௭

൩ ൌ 12 · sin ሺΦሻ · ൭ ܯଶଷ െ ܯଷଶܯଷଵ െ ܯଵଷܯଵଶ െ ܯଶଵ

൱ 

  Euler Symmetric Parameters  ݍଵ ൌ ݁௫ · ݏ݅݊ ൬Φ2 ൰ 

ݍଶ ൌ ݁௬ · ݏ݅݊ ൬Φ2 ൰ 

ݍଷ ൌ ݁௭ · ݏ݅݊ ൬Φ2 ൰ 

ݍସ ൌ ܿ݋ݏ ൬Φ2 ൰   ݍଵଶ൅ݍଶଶ൅ݍଷଶ൅ݍସଶ ൌ 1    

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ሾࡹሺࢗሬԦሻሿ ൌ ൥ ܯଵଵ ܯଵଶ ܯଵଷ ܯଶଵ ܯଶଶ ܯଶଷܯଷଵ ܯଷଶ ܯଷଷ

൩ 

  ܯଵଵ ൌ ݍଵଶെݍଶଶെݍଷଶ൅ݍସଶ                            ܯଶଷ ൌ 2 · ሺݍଶ · ݍଷ ൅ ݍଵ · ݍସሻ 

ܯଵଶ ൌ 2 · ሺݍଵ · ݍଶ ൅ ݍଷ · ݍସሻ           ܯଷଵ ൌ 2 · ሺݍଵ · ݍଷ ൅ ݍଶ · ݍସሻ 

ܯଵଷ ൌ 2 · ሺݍଵ · ݍଷ െ ݍଶ · ݍସሻ ܯଷଶ ൌ 2 · ሺݍଶ · ݍଷ െ ݍଵ · ݍସሻ 

ܯଶଵ ൌ 2 · ሺݍଵ · ݍଶ െ ݍଷ · ݍସሻ ܯଷଷ ൌ െݍଵଶെݍଶଶ൅ݍଷଶ൅ݍସଶ 

Euler Symmetric Parameters Corresponding to a Given Rotation Matrix ሾࡹሿ    ݍଵ ൌ 14 · ݍସ · ሺܯଶଷ െ ܯଷଶሻ 

ݍଶ ൌ 14 · ݍସ · ሺܯଷଵ െ ܯଵଷሻ 

ݍଷ ൌ 14 · ݍସ · ሺܯଵଶ െ ܯଶଵሻ 

ݍସ ൌ േ 12 · ඥ1 ൅ ܯଵଵ ൅ ܯଶଶ ൅ ܯଷଷ    

Note:  Sign Ambiguity.  Changing sign of all Euler Symmetric Parameters  simultaneously does not affect the rotation matrix.  As such, there  are four possible ways to compute the Euler Symmetric  Parameters. 

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   Rotation Angle about Fixed-Axis Vector (see p. 340 for ሾࡹሿ) 

Φ ൌ ܿ݋ݏିଵ ቆ12 ሺܯଵଵ ൅ ܯଶଶ ൅ ܯଷଷ െ 1ሻቇ   

Fixed-Axis Vector (see p. 340 for ሾࡹሿ) 

ࢋሬԦ ൌ ൥ ݁௫݁௬݁௭

൩ ൌ 12 · sin ሺΦሻ · ൭ ܯଶଷ െ ܯଷଶܯଷଵ െ ܯଵଷܯଵଶ െ ܯଶଵ

൱ 

  Gibbs Vector  ݃ଵ ൌ ݍଵݍସ ൌ ݁௫ · ݐܽ݊ ൬

Φ 2 ൰ 

݃ଶ ൌ ݍଶݍସ ൌ ݁௬ · ݐܽ݊ ൬ Φ 2 ൰ 

݃ଷ ൌ ݍଷݍସ ൌ ݁௭ · ݐܽ݊ ൬ Φ 2 ൰ 

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ሾࡹሺࢍሬሬԦሻሿ ൌ ൥ ܯଵଵ ܯଵଶ ܯଵଷ ܯଶଵ ܯଶଶ ܯଶଷܯଷଵ ܯଷଶ ܯଷଷ

൩    ܯଵଵ ൌ 1 ൅ ݃ଵ

2 · ሺ݃ଶ · ݃ଷ ൅ ݃ଵሻ 1 ൅ ݃ଵଶ൅݃ଶଶ൅݃ଷଶ  

ܯଵଶ ൌ 2 · ሺ݃ଵ · ݃ଶ ൅ ݃ଷሻ

1 ൅ ݃ଵଶ൅݃ଶଶ൅݃ଷଶ ܯଷଵ ൌ 2 · ሺ݃ଵ · ݃ଷ ൅ ݃ଶሻ 1 ൅ ݃ଵଶ൅݃ଶଶ൅݃ଷଶ  

ܯଵଷ ൌ 2 · ሺ݃ଵ · ݃ଷ െ ݃ଶሻ

1 ൅ ݃ଵଶ൅݃ଶଶ൅݃ଷଶ ܯଷଶ ൌ 2 · ሺ݃ଶ · ݃ଷ െ ݃ଵሻ 1 ൅ ݃ଵଶ൅݃ଶଶ൅݃ଷଶ  

ܯଶଵ ൌ 2 · ሺ݃ଵ · ݃ଶ െ ݃ଷሻ

1 ൅ ݃ଵଶ൅݃ଶଶ൅݃ଷଶ   

Gibbs Vector Corresponding to a Given Rotation Matrix ሾࡹሿ  ݃ଵ ൌ ܯଶଷ െ ܯଷଶ1 ൅ ܯଵଵ ൅ ܯଶଶ ൅ ܯଷଷ 

݃ଶ ൌ ܯଷଵ െ ܯଵଷ1 ൅ ܯଵଵ ൅ ܯଶଶ ൅ ܯଷଷ 

݃ଷ ൌ ܯଵଶ െ ܯଶଵ1 ൅ ܯଵଵ ൅ ܯଶଶ ൅ ܯଷଷ     ______________________________________________________________________

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