ABSTRACT

W e s h a l l n o w c o n s i d e r t h e c a s e , w h e n A i s a n o p e n s e t . P u t

Aj = \x G A : j - 1 < \x\ < j , d i s t ( x , dA) > *

f o r j = 1 , 2 , . . . a n d A - i = A 0 = 0, t h e e m p t y s e t . T h e n Aj i s c o m p a c t a n d A = U j l i A r F o r e a c h j , t h e c o l l e c t i o n

^ : = { ¡ 7 H i n t e r i o r A j + 1 D ( A i _ 2 ) c : Í7 G i ? }

c o v e r s A ^ . I n a c c o r d a n c e w i t h t h e a b o v e s t a t e m e n t , t h e r e e x i s t f u n c t i o n s

G j , i . . . Qj,kj w h i c h a r e s u b o r d i n a t e d t o t h e c o v e r i n g tij a n d ®jv(x) — 1 f o r x G Aj. P u t

oo fc¿

j = l u=l O f c o u r s e , o~(x) > 0 f o r x E A. F o r e a c h a; G i t h e a b o v e s u m c o n s i s t s o f o n l y a finite n u m b e r o f s u m m a n d s . L e t

* = j ^ v : = j = 1 , 2 , . . . , z/ = 1 . . .