ABSTRACT
The c o n c e p t o f c o m p l e x m o d u l u s i s i n g e n e r a l p h y s i c a l l y e x p l a i n e d b y c o n s i d e r i n g t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n s i n u s o i d a l l y v a r y i n g s t r e s s a n d s t r a i n f o r u n i a x i a l l o a d i n g . 2 . 3 E x t r a c t i o n o f l o s s a n g l e s o u t o f p l a t e - d a m p i n g m e a s u r e m e n t s R e s e a r c h o n l o s s a n g l e m e a s u r e m e n t s on c o m p l e t e l y f r e e v i b r a t i n g p l a t e s , w a s i n f a c t t h e n a t u r a l c o n t i n u a t i o n o f t h e w o r k b y SOL, who d e v e l o p p e d a p r a c t i c a l m e t h o d t o d e t e r m i n e t h e e l a s t i c m a t e r i a l c o n s t a n t s o u t o f r e s o n a n t f r e q u e n c y m e a s u r e m e n t s f o r t h e f i r s t v i b r a t i o n m o d e s o f a c o m p l e t e l y f r e e v i b r a t i n g p l a t e . The t h e o r e t i c a l b a s i s o f d a m p i n g e x t r a c t i o n w i l l now b e s u m m a r i z e d f o r t h e c a s e o f o r t h o t r o p i c m a t e r i a l s , b e c a u s e p l a t e s i n r e i n f o r c e d c o n c r e t e may b e c o n s i d e r e d a s f a b r i c a t e d w i t h a m a c r o s c o p i c a l l y h o m o g e n e o u s o r t h o t r o p i c v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l ; t h e p a s s a g e t o i s o t r o p i c m a t e r i a l s ( u n r e i n f o r c e d c o n c r e t e ) i s s t r a i g h t f o r w a r d . I n t h e c a s e o f t h i n p l a t e s , s u b j e c t e d t o s m a l l t r a n s v e r s e v i b r a t i o n a l d e f l e c t i o n s , t h e r e a r e f o u r d i f f e r e n t s t r e s s - s t r a i n c o m b i n a t i o n s t h a t c o n t r i b u t e t o t h e t o t a l d i s s i p a t i o n o f e n e r g y ; when i n t e g r a t e d o v e r t h e e n t i r e v o l u m e V o f t h e p l a t e , t h e d i s s i p a t e d e n e r g y AW c a n b e w r i t t e n a s :
w h e r e 1 , 2 i n d i c a t e t h e p r i n c i p a l m a t e r i a l d i r e c t i o n s . The e x p r e s s i o n i n ( 1 ) , i n w h i c h t h e l o c a l e n e r g y q u a n t i t i e s W a n d AW c a n b e r e p l a c e d b y t h e g l o b a l q u a n t i t i e s b y i n t e g r a t i o n o v e r t h e v o l u m e o f t h e p l a t e ,
c a n b e u s e d t o d e f i n e a l o s s f a c t o r r)y p r o p e r t o e a c h s t r e s s - s t r a i n c o m b i n a t i o n , w h i c h n e c e s s a r i l y i n t r o d u c e s a p a r t i t i o n o f t h e t o t a l e l a s t i c s t r a i n e n e r g y W f o r t h e w h o l e p l a t e , i n t o f o u r p a r t s :
E q u a t i o n (3 ) i s t h e n t r a n s f o r m e d i n t o :
D e v i d i n g b o t h members o f (5 ) b y t h e t o t a l e l a s t i c s t r a i n e n e r g y W g i v e s :
Wn Wl2 W22 i = nn — + n1 2-+ i2 2-+ ( 6 )
F o r e a c h mode o f v i b r a t i o n o f t h e p l a t e , t h e o v e r a l l l o s s f a c t o r rj c a n b e m e a s u r e d , w h i l e t h e e l a s t i c s t r a i n e n e r g y r a t i o s W .^/W c a n b e c a l c u l a t e d i n a d d i t i o n t o t h e s o l u t i o n o f t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m o f a c o m p l e t e l y f r e e p l a t e b y m e a n s o f a f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n . T a k i n g i n t o a c c o u n t f o u r d i f f e r e n t m o d e s o f a p l a t e t h u s p e r m i t s t o e s t i m a t e t h e l o s s f a c t o r s r)r a s s o c i a t e d t o t h e f o u r d i s t i n g u i s h e d s t r e s s - s t r a i n c y c l e s . T h e s e l o s s f a c t o r s a r e i n f a c t t h e d a m p i n g v a l u e s a s s o c i a t e d t o t h e o r t h o t r o p i c p l a t e r i g i d i t i e s D^-; t h i s i s o b v i o u s when c o n s i d e r i n g t h e e q u a t i o n s f o r b e n d i n g o f o r t h o t r o p i c p l a t e s , w h i c h a r e w r i t t e n h e r e i n c o m p l e x f o r m , a c c o r d i n g t o t h e c o r r e s p o n d a n c e p r i n c i p l e :
K i m; =
\ *y )
(7 )
w h e r e M a n d % s t a n d f o r b e n d i n g a n d t o r s i o n a l m o m e n t s a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c u r v a t u r e s ; a n d :
(8 )
w h e r e h = t h i c k n e s s o f t h e p l a t e . By p u t t i n g e a c h c o m p l e x q u a n t i t y Q* i n (8 ) i n t h e f o r m Q = Q e1<5Q, a n d b y m a k i n g c o m b i n a t i o n s o f t h e e x p r e s s i o n s i n ( 8 ) , o n e c a n d e d u c e t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p s :
(9 )
w h e r e <5N i s a dummy v a r i a b l e d e f i n e d by :
2 1 9
3 E x p e r i m e n t a l d e t e r m i n a t i o n o f d a m p i n g p r o p e r t i e s o f u n r e i n f o r c e d c o n c r e t e 3 . 1 D e s c r i p t i o n o f t e s t m a t e r i a l T a b l e 1 . C o m p o s i t i o n o f m i c r o c o n c r e t e
The f a c t t h a t r?E1 * 77 2 , a l t h o u g h t h e m a t e r i a l i s s u p p o s e d t o b e i s o t r o p i c i n g l o b a l b e h a v i o u r , i s d u e t o t h e n o n - u n i f o r m t h i c k n e s s o f t h e p l a t e ( v a r y i n g b e t w e e n 2 , 9 4 and 3 , 0 5 cm) and e v e n t u a l d e f e c t s w h i c h b r e a k t h e s y m m e t r y o f t h e p l a t e . B u t on t h e w h o l e , i t w a s o b s e r v e d t h a t t h e a c c u r a c y o f t h e f i n a l l o s s f a c t o r s i s p r i m a r i l y d e t e r m i n e d by t h e a c c u r a c y o f t h e m o d a l d a m p i n g m e a s u r e m e n t s o n t h e p l a t e ; b a d e x c i t a t i o n o f t h e mode o r w r o n g s u s p e n s i o n o f t h e p l a t e c a n l e a d e a s i l y t o a v a r i a t i o n o f 20% on t h e f i n a l d a m p i n g v a l u e s . T a b l e 2 . Modal p a r a m e t e r s f o r a c o m p l e t e l y f r e e s q u a r e p l a t e (300 mm x 300 mm x 30 mm) o f m i c r o c o n c r e t e a t an a g e o f 28 d a y s
Mode Nr P a t t e r n o f n o d a l l i n e s
D e s c r i p t i o n o f t h e mode s h a p e
R e s o n a n t l o s s f r e q u e n c y f a c t o r (Hz) n (%)
t o r s o n 882 0 , 5 8
s a d d l e 1297 0 , 6 2
o b r e a t h 1428 0 , 7 0 t o r s i o n + b e n d i n g 2168 0 , 66
t o r s i o n + b e n d i n g 2171 0, 62
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