ABSTRACT
Nonlinear acoustics begins with the simplest case, namely the propagation of nite-amplitude planar wave in an ideal uid along the x direction. The corresponding dynamic equation can be described by
¶ ¶
+ ¶ ¶
= - ¶ ¶
v
t v
v
x
p x
1 r
(6.1)
And, the continuity equation is
¶ ¶
= - ¶ ¶
( )r rv x t
(6.2)
For an ideal medium, the particle velocity v and sound speed c are both monotonic functions of density ρ:
v v c c= =( ), ( )r r (6.3)
Then, Equations 6.1 and 6.2 can be rewritten as
¶ ¶
+ + æ
è ç
ö
ø ÷
¶ ¶
=v t
v dp dv
v
x
1 0 r
(6.4)
¶ ¶
+ ¶ ¶
=r r r
r t
d v d x ( ) 0 (6.5)
or
-
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷
= - ¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷ = +
æ è ç
ö ø ÷
v
t v
x
x
t v
dp dvv
1 r
(6.6)
-
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷
= - ¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷ = +
æ
è ç
ö
ø ÷
r
r r
rr
t
x
x
t v
dv d
(6.7)
Since both ρ and v are monotonic variables,
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷ =
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷
x
t x
t vr (6.8)
Then, it can be derived from Equations 6.6 and 6.7 that
r
r r2 2dv
d dp dv
c d dv
æ
è ç
ö
ø ÷ = =
æ è ç
ö ø ÷ (6.9)
dv d
c
r r æ
è ç
ö
ø ÷ =
2 (6.10)
where c2 = dp/dρ so,
v
c d dp c
= ± = ±ò òr r r (6.11)
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷ =
¶ ¶
æ è ç
ö ø ÷ = ±
x
t x
t v c
(6.12)
After integration, Equation 6.12 is rewritten as
x v c t f v v F x v c t= ± + = - ±( ) ( ) [ ( ) ]or (6.13)
where f(*) and F(*) are arbitrary functions. The (±) sign means that, along the direction of x+ and x−, the speed of nite-amplitude sound wave is v ± c, respectively.
