ABSTRACT
Df ǫ(sy) · y ds
= f ǫ(0) +Df(0) · y + ∫ 1 0
[Df ǫ(sy)−Df(0)] · y ds.
3. Choose any function φ ∈ C1c (B(r)) with |φ| ≤ 1, multiply by φ, and average over B(r):∫
φ(y)(f ǫ(y)− f ǫ(0)−Df(0) · y) dy
=
(∫ − B(r)
φ(y)[Df ǫ(sy)−Df(0)] · y dy ) ds
=
s
(∫ − B(rs)
φ (z s
) [Df ǫ(z)−Df(0)] · z dz
) ds. (⋆)
gǫ(s) :=
φ (z s
) Df ǫ (z) · z dz
= − ∫ B(rs)
f ǫ(z) div ( φ (z s
) z ) dz
→ − ∫ B(rs)
f(z) div ( φ (z s
) z ) dz as ǫ→ 0
=
φ (z s
) z · d[Df ]
=
φ (z s
) Df(z) · z dz +
φ (z s
) z · d[Df ]s.
