ABSTRACT
Derivatives (cont.) ݀
݀ݔ ሺsinሺݑሻሻ ൌ ሺcosሺݑሻሻ · ݑ ᇱ ݀݀ݔ ሺcosሺݑሻሻ ൌ െሺsin ሺݑሻሻ · ݑ
݀ ݀ݔ ሺtanሺݑሻሻ ൌ ሺsec
ଶሺݑሻሻ · ݑᇱ ݀݀ݔ ሺcotሺݑሻሻ ൌ െሺcsc ଶሺݑሻሻ · ݑᇱ
݀
݀ݔ ሺsecሺݑሻሻ ൌ ൫secሺuሻ · tanሺuሻ൯ · ݑ ᇱ
݀ ݀ݔ ሺcscሺݑሻሻ ൌ െ൫cscሺݑሻ · cotሺݑሻ൯ · ݑ
ᇱ
Inverse Trigonometric Derivatives ݀
݀ݔ ൫arcsinሺݑሻ൯ ൌ ݑᇱ
√1 െ ݑଶ
݀ ݀ݔ ሺarccosሺݑሻሻ ൌ
െݑᇱ √1 െ ݑଶ
݀ ݀ݔ ൫arctanሺݑሻ൯ ൌ
ݑᇱ 1 ݑଶ
݀݀ݔ ሺarccotሺݑሻሻ ൌ െݑᇱ
1 ݑଶ
݀ ݀ݔ ൫arcsecሺݑሻ൯ ൌ
ݑᇱ |ݑ| · √ݑଶ െ 1
݀ ݀ݔ ሺarccscሺݑሻሻ ൌ
െݑᇱ |ݑ| · √ݑଶ െ 1
______________________________________________________________________
Basic Rules p. 105
Simple Integrals p. 105
ࢇ ࢈ · ࢞ p. 105
ࢇ ࢈ · ࢞ p. 106
࢞ ࢇ ࢈ · ࢞ p. 107
ࢇ ࢈ · ࢞ p. 108
࢞ ࢇ ࢈ · ࢞ p. 108
ሺࢇ ࢈ · ࢞ሻ · ሺ ࢍ · ࢞ሻ pp. 108-109
࢞ ሺࢇ ࢈ · ࢞ሻ · ሺ ࢍ · ࢞ሻ pp. 109-110
ࢇ ࢈ · ࢞ ࢍ · ࢞ p. 110
√ࢇ ࢈ · ࢞ p. 110
______________________________________________________________________
√ࢇ ࢈ · ࢞ pp. 110-111
࢞ √ࢇ ࢈ · ࢞ p. 111
√ࢇ ࢈ · ࢞ ࢞ p. 111
ࢇ · ࢞ ࢈ · ࢞ ࢉ pp. 111-112
ሺࢇ · ࢞ ࢈ · ࢞ ࢉሻ p. 112
࢞ ࢇ · ࢞ ࢈ · ࢞ ࢉ p. 112
ඥ࢞ േ ࢇ p. 113
ඥ࢞ േ ࢇ ࢞ p. 114
ඥ࢞ േ ࢇ pp. 114-115
࢞ ඥ࢞ േ ࢇ pp. 115-116
࢞ െ ࢇ p. 116
______________________________________________________________________
࢞ ࢞ െ ࢇ p. 116
ࢇ േ ࢞ p. 116
࢞ ࢇ േ ࢞ p. 117
ඥࢇ െ ࢞ p. 117
√ࢇ െ ࢞ ࢞ p. 118
√ࢇ െ ࢞ pp. 118-119
࢞ √ࢇ െ ࢞ p. 119
ࢋ࢞ p. 120
ሺ࢞ሻ p. 121
Trigonometric Forms pp. 122-125
Inverse Trigonometric Forms pp. 126-127
a, b, k, g, n, m, C = constant ܨሺݔሻ ൌ ݑ, ܩሺݔሻ ൌ ݒ
______________________________________________________________________
Basic Rules න ݇ · ݑ ݀ݔ ൌ ݇ · න ݑ ݀ݔ
න ݑ േ ݒ ݀ݔ ൌ න ݑ ݀ݔ േ න ݒ ݀ݔ
Simple Integrals න ݇ ݀ݔ ൌ ݇ · ݔ ܥ
න 1ݔ ݀ݔ ൌ ݈݊ ሺ|ݔ|ሻ ܥ
න ݔ ݀ݔ ൌ ݔ ାଵ
݊ 1 ܥ ݂ݎ ݊ ് െ1
න 1ݔ ݀ݔ ൌ 1
1 െ ݊ · 1
ݔିଵ ܥ ݂ݎ ݊ ് 1
න ݇·௫ ݀ݔ ൌ 1݊ · ݇·௫
lnሺ݇ሻ ܥ ݂ݎ ݇ 0
නሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ሺܽ ܾ · ݔሻ ାଵ
ܾ · ሺ݊ 1ሻ ܥ ݂ݎ ݊ ് 1
න ݔ · ሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ሺܽ ܾ · ݔሻ ାଶ
ܾଶ · ሺ݊ 2ሻ െ ܽ · ሺܽ ܾ · ݔሻାଵ
ܾଶ · ሺ݊ 1ሻ ܥ ݂ݎ ݊ ് െ1, െ2 න ݔଶ · ሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ 1ܾଷ · ቆ ሺܾܽ·ݔሻାଷ
݊3 െ 2·ܽ·ሺܾܽ · ݔሻାଶ
݊2 ܽଶ·ሺܾܽ·ݔሻାଵ
݊1 ቇ ܥ
݂ݎ ݊ ് െ1, െ2, െ3
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න 1ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ
1 ܾ · ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻ ܥ
න 1ሺܽ ܾ · ݔሻଶ ൌ െ 1
ܾ · ሺܽ ܾ · ݔሻ ܥ
න 1ሺܽ ܾ · ݔሻଷ ൌ െ 1
2 · ܾ · ሺܽ ܾ · ݔሻଶ ܥ
න 1ݔ · ሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ܽ · ݈݊ ቀቚ
ݔ ܽ ܾ · ݔቚቁ ܥ
න 1ݔ · ሺܽ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ ൌ 1 ܽ · ቆ
1 ܽ ܾ · ݔ
1 ܽ · ݈݊ ቀቚ
ݔ ܽ ܾ · ݔቚቁቇ ܥ
න 1ݔ · ሺܽ ܾ · ݔሻଷ ݀ ൌ 1
ܽଷ · ቌ 1 2 · ൬
2 · ܽ ܾ · ݔ ܽ ܾ · ݔ ൰
ଶ െ ݈݊ ൬ฬܽ ܾ · ݔݔ ฬ൰ቍ ܥ
න 1ݔଶ · ሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1
ܽ · ݔ ܾ
ܽଶ · ݈݊ ൬ฬ ܽ ܾ · ݔ
ݔ ฬ൰ ܥ
න 1ݔଷ · ሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ܾ · ݔ െ ܽ 2 · ܽଶ · ݔଶ
ܾଶ ܽଷ · ݈݊ ቀቚ
ݔ ܽ ܾ · ݔቚቁ ܥ
න 1ݔଶ · ሺܽ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ
ൌ െ 1ܽଶ · ൭ ܽ 2 · ܾ · ݔ
ݔ · ሺܽ ܾ · ݔሻ 2 · ܾ
ܽ · ݈݊ ቀቚ ݔ
ܽ ܾ · ݔቚቁ൱ ܥ
______________________________________________________________________
න ݔܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 1
ܾଶ · ൫ܽ ܾ · ݔ െ ܽ · ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻ൯ ܥ
න ݔሺܽ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ ൌ 1
ܾଶ · ቆ ܽ
ܽ ܾ · ݔ ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻቇ ܥ
න ݔሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ 1ܾଶ · ൬ െ1
ሺ݊ െ 2ሻ·ሺܾܽ·ݔሻିଶ ܽ
ሺ݊ െ 1ሻ·ሺܾܽ·ݔሻିଵ൰ ܥ ݂ݎ ݊ ് 1,2
න ݔ ଶ
ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ
ൌ 1ܾଷ · ቆ 1 2 ·ሺܾܽ·ݔሻ
ଶ െ 2·ܽ·ሺܾܽ·ݔሻܽଶ·݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻቇ ܥ
න ݔ ଶ
ሺܽ ܾ · ݔሻଶ ݀ݔ
ൌ 1ܾଷ · ቆܽ ܾ · ݔ െ 2 · ܽ · ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻ െ ܽଶ
ܽ ܾ · ݔቇ ܥ
න ݔ ଶ
ሺܽ ܾ · ݔሻଷ ݀ݔ
ൌ 1ܾଷ · ቆ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻ 2 · ܽ
ܽ ܾ · ݔ െ ܽଶ
2 · ሺܽ ܾ · ݔሻଶቇ ܥ
න ݔ ଶ
ሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ 1ܾଷ ·ሺ െ1ሺ݊ െ 3ሻ·ሺܾܽ · ݔሻିଷ 2·ܽሺ݊ െ 2ሻ·ሺܾܽ · ݔሻିଶ െ ܽ
ሺ݊ െ 1ሻ·ሺܾܽ·ݔሻିଵ ሻ ܥ ݂ݎ ݊ ് 1,2,3
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න ܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ
ൌ 1√ܽ · ܾ · ܽݎܿݐܽ݊ ቆ ݔ · √ܽ · ܾ
ܽ ቇ ܥ, ݂ݎ ܽ · ܾ 0
න 1ܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ
ൌ 12 · √െܽ · ܾ · ݈݊ ቆቤ ܽ ݔ · √െܽ · ܾ ܽ െ ݔ · √െܽ · ܾቤቇ ܥ, ݂ݎ ܽ · ܾ ൏ 0
න 1ܽଶ ܾଶ · ݔଶ ݀ݔ ൌ 1
ܽ · ܾ · ܽݎܿݐܽ݊ ൬ ܾ · ݔ
ܽ ൰ ܥ
න 1ሺܽ ܾ · ݔଶሻଶ ݀ݔ ൌ ݔ
2 · ܽ · ሺܽ ܾ · ݔଶሻ 1
2 · ܽ · න 1
ܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ
න 1ܽଶ െ ܾଶ · ݔଶ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽ · ܾ · ݈݊ ൬ฬ ܽ ܾ · ݔ ܽ െ ܾ · ݔฬ൰ ܥ
න 1ݔ · ሺܽ ܾ · ݔଶሻ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽ · ݈݊ ቆቤ ݔଶ
ܽ ܾ · ݔଶቤቇ ܥ
න 1ݔଶ · ሺܽ ܾ · ݔଶሻ ݀ݔ ൌ െ 1
ܽ · ݔ െ ܾ ܽ · න
1 ܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ
න ݔܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ ൌ
1 2 · ܾ · ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ
ଶ|ሻ ܥ
න ݔ ଶ
ܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ ൌ ݔ ܾ െ
ܽ ܾ · න
1 ܽ ܾ · ݔଶ ݀ݔ
න 1ሺܽ ܾ · ݔሻ · ሺ݇ ݃ · ݔሻ ݀ݔ ൌ
1 ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ݈݊ ൬ฬ
݇ ݃ · ݔ ܽ ܾ · ݔฬ൰ ܥ
݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න 1ሺܽ ܾ · ݔሻଶ · ሺ݇ ݃ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ 1ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ൭ 1
ܽ ܾ · ݔ ݃
ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ݈݊ ൬ฬ ݇ ݃ · ݔ ܽ ܾ · ݔฬ൰൱ ܥ
݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0
න 1ሺܽ ܾ · ݔሻ · ሺ݇ ݃ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ 1ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻ · ሺ݉ െ 1ሻ
·ሺ െ1ሺܽ ܾ · ݔሻିଵ · ሺ݇ ݃ · ݔሻିଵ െ ܾ · ሺ݉ ݊ െ 2ሻ · න 1ሺܽ ܾ · ݔሻ · ሺ݇ ݃ · ݔሻିଵ ݀ݔሻ
݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0
න ݔሺܽ ܾ · ݔሻ · ሺ݇ ݃ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ 1ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ · ൭ ܽ ܾ · ݈݊ሺ|ܽ ܾ · ݔ|ሻ െ
݇ ݃ · ݈݊ሺ|݇ ݃ · ݔ|ሻ൱ ܥ
݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0 න ݔሺܽ ܾ · ݔሻଶ · ሺ݇ ݃ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ െ ܾܽ · ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻ · ሺܽ ܾ · ݔሻ െ ݇
ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻଶ
· ݈݊ ൬ฬ݇ ݃ · ݔܽ ܾ · ݔฬ൰ ܥ ݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0
______________________________________________________________________
ሺܽ ܾ · ݔሻଶ · ሺ݇ ݃ · ݔሻ ݀ݔ
ൌ ܽ ଶ
ܾଶ · ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻ · ሺܽ ܾ · ݔሻ 1
ሺܽ · ݃ െ ܾ · ݇ሻଶ
· ቌ݇ ଶ
݃ ·݈݊ሺ|݇݃·ݔ|ሻ ܽ·൫ሺܽ·݃ െ ܾ·݇ሻ െ ܾ·݇൯
ܾଶ ·݈݊ሺ|ܾܽ·ݔ|ሻቍ ܥ
݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0
න ܽ ܾ · ݔ݇ ݃ · ݔ ݀ݔ ൌ ܾ · ݔ
݃ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇
݃ଶ · ݈݊ሺ|݇ ݃ · ݔ|ሻ ܥ ݂ݎ ܽ · ݃ െ ܾ · ݇ ് 0
න √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 23 · ܾ · ඥሺܽ ܾ · ݔሻଷ ܥ
න ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ 2 · ሺ2 · ܽ െ 3 · ܾ · ݔሻ15 · ܾଶ · ඥሺܽ ܾ · ݔሻଷ ܥ
න ݔଶ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔൌ 2·ሺ8·ܽ ଶ െ 12·ܽ·ܾ·ݔ 15·ܾଶ·ݔଶሻ
105 · ܾଷ ·ඥሺܾܽ·ݔሻଷܥ
න ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 2ܾ · ሺ2 · ݊ 3ሻ · ሺݔ · ඥሺܽ ܾ · ݔሻଷ െ݊ · ܽ · න ݔିଵ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ሻ ܥ
න 1√ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ
2 · √ܽ ܾ · ݔ ܾ ܥ
න 1ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 2
√െܽ · ܽݎܿݐܽ݊ ቌඨ ܾܽ·ݔ
െܽ ቍ ܥ ݂ݎ ܽ ൏ 0
න 1ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 1
√ܽ · ݈݊ ቆቤ √ܽ ܾ · ݔ െ √ܽ √ܽ ܾ · ݔ √ܽቤቇ ܥ ݂ݎ ܽ 0
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න 1ݔଶ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ
√ܽ ܾ · ݔ ܽ · ݔ െ
ܾ 2 · ܽ · න
1 ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ
න 1ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ √ܽ ܾ · ݔ
ሺ݊ െ 1ሻ · ܽ · ݔିଵ െ ሺ2 · ݊ െ 3ሻ · ܾ ሺ2 · ݊ െ 2ሻ · ܽ
· න 1ݔିଵ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ
න ݔ√ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ െ 2 · ሺ2 · ܽ െ ܾ · ݔሻ
3 · ܾଶ · √ܽ ܾ · ݔ ܥ
න ݔ ଶ
√ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ
ൌ 2 · ሺ8 · ܽ ଶ െ 4 · ܽ · ܾ · ݔ 3 · ܾଶ · ݔଶሻ
15 · ܾଷ · √ܽ ܾ · ݔ ܥ
න ݔ
√ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ ൌ 2
ሺ2 · ݊ 1ሻ · ܾ
· ቆݔ · √ܽ ܾ · ݔ െ ݊ · ܽ · න ݔ ିଵ
√ܽ ܾ · ݔ ݀ݔቇ
න √ܽ ܾ · ݔݔ ݀ݔ ൌ 2 · √ܽ ܾ · ݔ ܽ · න 1
ݔ · √ܽ ܾ · ݔ ݀ݔ
න √ܽ ܾ · ݔݔ ݀ݔ ൌ െ 1
ሺ݊ െ 1ሻ · ܽ
· ൭ඥሺܽ ܾ · ݔሻ ଷ
ݔିଵ ሺ2 · ݊ െ 5ሻ · ܾ
2 · න √ܽ ܾ · ݔ
ݔିଵ ݀ݔ൱
න 1ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ ൌ 2
√4 · ܽ · ܿ െ ܾଶ · ܽݎܿݐܽ݊ ൬ 2 · ܽ · ݔ ܾ
√4 · ܽ · ܿ െ ܾଶ൰ ܥ
݂ݎ ܾଶ ൏ 4 · ܽ · ܿ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න 1ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
ൌ 1√ܾଶ െ 4 · ܽ · ܿ · ݈݊ ቆቤ 2 · ܽ · ݔ ܾ െ √ܾଶ െ 4 · ܽ · ܿ 2 · ܽ · ݔ ܾ √ܾଶ െ 4 · ܽ · ܿቤቇ ܥ
݂ݎ ܾଶ 4 · ܽ · ܿ
න 1ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ ൌ െ 2
2 · ܽ · ݔ ܾ ܥ ݂ݎ ܾ ଶ ൌ 4 · ܽ · ܿ
න 1ሺܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿሻାଵ ݀ݔ
ൌ 2 · ܽ · ݔ ܾ݊ · ሺ4 · ܽ · ܿ െ ܾଶሻ · ሺܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿሻ 2 · ሺ2 · ݊ െ 1ሻ · ܽ ݊ · ሺ4 · ܽ · ܿ െ ܾଶሻ
· න 1ሺܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿሻ ݀ݔ
න ݔܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
ൌ 12 · ܽ · ݈݊ሺ|ܽ · ݔ ଶ ܾ · ݔ ܿ|ሻ െ ܾ2 · ܽ · න
1 ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
න ݔ ଶ
ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ ൌ ݔ ܽ െ
ܾ 2 · ܽଶ · ݈݊ሺ|ܽ · ݔ
ଶ ܾ · ݔ ܿ|ሻ
ܾ ଶ െ 2 · ܽ · ܿ
2 · ܽଶ · න 1
ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
න ݔ
ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
ൌ ݔ ିଵ
ሺ݊ െ 1ሻ · ܽ െ ܿ ܽ · න
ݔିଶ ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
െ ܾܽ · න ݔିଵ
ܽ · ݔଶ ܾ · ݔ ܿ ݀ݔ
______________________________________________________________________
න ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 12 · ൬ݔ · ඥݔଶ േ ܽଶ േ ܽ ଶ · ݈݊ ቀቚݔ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ൰ ܥ
න ݔ · ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 13 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ܥ
න ݔଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ݔ4 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ט ܽଶ 8 · ݔ · ඥݔଶ േ ܽଶ
െ ܽ ସ
8 · ݈݊ ቀቚݔ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ܥ
න ݔଷ · ඥݔଶ ܽଶ ݀ݔ ൌ 115 · ሺ3 · ݔ ଶ െ 2 · ܽଶሻ · ඥሺݔଶ ܽଶሻଷ ܥ
න ݔଷ · ඥݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ 15 · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻହ ܽଶ 3 · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻଷ ܥ
න ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 14 ·ሺݔ·ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ േ 3 · ܽଶ · ݔ2 · ඥݔଶ േ ܽଶ 3 · ܽ
2 · ݈݊ ቀቚݔ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁሻ ܥ න ݔ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 15 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻହ ܥ
න ݔଶ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ ݔ6 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻହ ט ܽଶ · ݔ
24
· ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ െ ܽ ସ · ݔ 16 · ඥݔଶ േ ܽଶ
ט ܽ
16 · ݈݊ ቀቚݔ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ܥ
න ݔଷ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 17 ·ඥሺݔଶ േ ܽଶሻ ט ܽଶ 5 ·ඥሺݔଶ േ ܽଶሻହ ܥ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න √ݔ
ଶ ܽଶ ݔ ݀ݔ ൌ ඥݔଶ ܽଶ െ ܽ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ݔଶ ܽଶ ݔ ቤቇ ܥ
න √ݔ ଶ െ ܽଶ ݔ ݀ݔ ൌ ඥݔଶ െ ܽଶ െ |ܽ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ
ݔ ܽቁ ܥ
න ඥݔ ଶ േ ܽଶ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ
ඥݔଶ േ ܽଶ ݔ ݈݊ ቀቚݔ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ܥ
න √ݔ ଶ ܽଶ ݔଷ ݀ݔ ൌ െ
√ݔଶ ܽଶ 2 · ݔଶ െ
1 2 · ܽ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ݔଶ ܽଶ ݔ ቤቇ ܥ
න √ݔ ଶ െ ܽଶ ݔଷ ݀ݔ ൌ െ
√ݔଶ െ ܽଶ 2 · ݔଶ
1 2 · |ܽ| ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ
ݔ ܽቁ ܥ
න ඥݔ ଶ േ ܽଶ ݔସ ݀ݔ ൌ ט
ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ 3 · ܽଶ · ݔଷ ܥ
න 1ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ݈݊ ቀቚݔ ඥݔ
ଶ േ ܽଶቚቁ ܥ
න 1ݔ · √ݔଶ ܽଶ ݀ݔ ൌ െ 1 ܽ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ݔଶ ܽଶ ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1
|ܽ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ ݔ ܽቁ ܥ
න 1ݔଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ט ඥݔଶ േ ܽଶ
ܽଶ · ݔ ܥ
න 1ݔଷ · √ݔଶ ܽଶ ݀ݔ ൌ െ √ݔଶ ܽଶ 2 · ܽଶ · ݔଶ
1 2 · ܽଷ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ݔଶ ܽଶ ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔଷ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ √ݔଶ െ ܽଶ 2 · ܽଶ · ݔଶ
1 2 · |ܽ|ଷ · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ
ݔ ܽቁ ܥ
න 1ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ േݔ
ܽଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ܥ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න 1ݔ · ඥሺݔଶ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ
1 ܽଶ · √ݔଶ ܽଶ െ
1 ܽଷ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ݔଶ ܽଶ ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔ · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 1
ܽଶ · √ݔଶ െ ܽଶ െ 1
|ܽଷ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ ݔ ܽቁ ܥ
න 1ݔଶ · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 1
ܽସ · ൭ ඥݔଶ േ ܽଶ
ݔ ݔ
ඥݔଶ േ ܽଶ൱ ܥ
න 1ݔଷ · ඥሺݔଶ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 3 ܽଶ
2 · ܽସ · √ݔଶ ܽଶ 3
2 · ܽହ
· ݈݊ ቆቤܽ √ݔ ଶ ܽଶ
ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔଷ · ඥሺݔଶ െ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽଶ · ݔଶ · √ݔଶ െ ܽଶ
െ 32 · ܽସ · √ݔଶ െ ܽଶ െ 3
2 · |ܽହ| · ܽݎܿݏ݁ܿ ቀ ݔ ܽቁ ܥ
න 1ሺݔ െ ܽሻ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ െ √ݔଶ െ ܽଶ
ܽ · ሺݔ െ ܽሻ ܥ
න 1ሺݔ ܽሻ · √ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ √ݔଶ െ ܽଶ
ܽ · ሺݔ ܽሻ ܥ
න ݔඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ඥݔ ଶ േ ܽଶ ܥ
න ݔ ଶ
ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ ݔ 2 · ඥݔଶ േ ܽଶ ט
ܽଶ 2 · ݈݊ ቀቚݔ ඥݔଶ േ ܽଶቚቁ ܥ
න ݔ ଷ
ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1 3 · ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ט ܽ
ଶ · ඥݔଶ േ ܽଶ ܥ
______________________________________________________________________
ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1 ݊ · ݔ
ିଵ · ඥݔଶ േ ܽଶ ט ݊ െ 1݊ · ܽ ଶ · න ݔ
ඥݔଶ േ ܽଶ ݀ݔ
න ݔඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ1
ඥݔଶ േ ܽଶ ܥ
න ݔ ଶ
ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ ݔ
ඥݔଶ േ ܽଶ ݈݊ ቀቚݔ ඥݔ ଶ േ ܽଶቚቁ ܥ
න ݔ ଷ
ඥሺݔଶ േ ܽଶሻଷ ݀ݔ ൌ ඥݔ ଶ േ ܽଶ േ ܽ
ඥݔଶ േ ܽଶ ܥ
න 1ݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽ · ݈݊ ቀቚ ݔ െ ܽ ݔ ܽቚቁ ܥ ݂ݎ ݔ
ଶ ܽଶ
න 1ሺݔଶ െ ܽଶሻ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽଶ · ሺ݊ െ 1ሻ · ሺെ ݔሺݔଶ െ ܽଶሻିଵ െሺ2 · ݊ െ 3ሻ· න 1ሺݔଶ െ ܽଶሻିଵሻ ݀ݔ ݂ݎ ݊ ് 1
න ݔݔଶ െ ܽଶ ݀ݔ ൌ
1 2 · ݈݊ሺ|ݔ
ଶ െ ܽଶ|ሻ ܥ
න ݔሺݔଶ െ ܽଶሻାଵ ݀ݔ ൌ െ 1
2 · ݊ · ሺݔଶ െ ܽଶሻ ܥ
න 1ܽଶ ݔଶ ݀ݔ ൌ 1 ܽ · ܽݎܿݐܽ݊ ቀ
ݔ ܽቁ ܥ
න 1ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽ · ݈݊ ൬ฬ ܽ ݔ ܽ െ ݔฬ൰ ܥ ݂ݎ ܽ
ଶ ݔଶ
න 1ሺܽଶ േ ݔଶሻ ݀ݔ ൌ 1
2 · ܽଶ · ሺ݊ െ 1ሻ · ሺ ݔሺܽଶ േ ݔଶሻିଵ ሺ2 · ݊ െ 3ሻ · න 1ሺܽଶ േ ݔଶሻିଵ ݀ݔሻ ݂ݎ ݊ ് 1
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න ݔܽଶ േ ݔଶ ݀ݔ ൌ േ
1 2 · ݈݊ሺ|ܽ
ଶ േ ݔଶ|ሻ ܥ
න ݔሺܽଶ േ ݔଶሻାଵ ݀ݔ ൌ ט 1
2 · ݊ · ሺܽଶ േ ݔଶሻ ܥ ݂ݎ ݊ ് 0
න ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ ݔ2 · ඥܽଶ െ ݔଶ ܽଶ 2 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬
ݔ |ܽ|൰ ܥ
න ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 14 · ሺݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ 3 · ܽଶ · ݔ2 · ඥܽଶ െ ݔଶ 3 · ܽ
2 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ
|ܽ|൰ሻܥ න ݔ · ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ 13 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ܥ
න ݔଶ · ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ ݔ4 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ܽଶ 8
· ቆݔ · ඥܽଶ െ ݔଶ ܽଶ · ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ|ܽ|൰ቇ ܥ
න ݔଷ · ඥܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ ൬െ 15 · ݔ ଶ െ 215 · ܽ
ଶ൰ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ܥ
න ݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 15 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻହ ܥ
න ݔଶ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ െ 16 · ݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻହ ܽଶ · ݔ
24
· ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ܽ ସ · ݔ 16 · ඥܽଶ െ ݔଶ
ܽ
16 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ
|ܽ|൰ ܥ
න ݔଷ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 17 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻ െ ܽଶ 5 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻହ ܥ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න √ܽ
ଶ െ ݔଶ ݔ ݀ݔ ൌ ඥܽଶ െ ݔଶ െ ܽ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ܥ
න √ܽ ଶ െ ݔଶ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ
√ܽଶ െ ݔଶ ݔ െ ܽݎܿݏ݅݊ ൬
ݔ |ܽ|൰ ܥ
න √ܽ ଶ െ ݔଶ ݔଷ ݀ݔ ൌ െ
√ܽଶ െ ݔଶ 2 · ݔଶ
1 2 · ܽ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ܥ
න √ܽ ଶ െ ݔଶ ݔସ ݀ݔ ൌ െ
ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ 3 · ܽଶ · ݔଷ ܥ
න 1√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ ܽݎܿݏ݅݊ ൬
ݔ |ܽ|൰ ܥ
න 1ݔ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ 1 ܽ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔଶ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ √ܽଶ െ ݔଶ
ܽଶ · ݔ ܥ
න 1ݔଷ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ √ܽଶ െ ݔଶ 2 · ܽଶ · ݔଶ െ
1 2 · ܽଷ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ √ܽଶ െ ݔଶ
ሺ݊ െ 1ሻ · ܽଶ · ݔିଵ ሺ݊ െ 2ሻ
ሺ݊ െ 1ሻ · ܽଶ
· න 1ݔିଶ · √ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ
න 1ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ ݔ
ܽଶ · √ܽଶ െ ݔଶ ܥ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න 1ݔ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ
1 ܽଶ · √ܽଶ െ ݔଶ െ
1 ܽଷ · ݈݊ ቆቤ
ܽ √ܽଶ െ ݔଶ ݔ ቤቇ ܥ
න 1ݔଶ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 1
ܽସ · ቆെ √ܽଶ െ ݔଶ
ݔ ݔ
√ܽଶ െ ݔଶቇ ܥ
න 1ݔଷ · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ
ൌ 3 െ ܽ ଶ
2 · ܽସ · √ܽଶ െ ݔଶ െ 3
2 · ܽହ · ݈݊ ቆቤ ܽ √ܽଶ െ ݔଶ
ݔ ቤቇ ܥ
න ݔ√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െඥܽ ଶ െ ݔଶ ܥ
න ݔඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 1
√ܽଶ െ ݔଶ ܥ
න ݔ ଶ
√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ ݔ 2 · ඥܽଶ െ ݔଶ
ܽଶ 2 · ܽݎܿݏ݅݊ ൬
ݔ |ܽ|൰ ܥ
න ݔ ଶ
ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ ݔ
√ܽଶ െ ݔଶ െ ܽݎܿݏ݅݊ ൬ ݔ
|ܽ|൰ ܥ
න ݔ ଷ
√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ 2 3 · ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ െ ݔ
ଶ · ඥܽଶ െ ݔଶ ܥ
න ݔ ଷ
ඥሺܽଶ െ ݔଶሻଷ ݀ݔ ൌ 2 · ඥܽ ଶ െ ݔଶ ݔ
√ܽଶ െ ݔଶ ܥ
න ݔ
√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ ൌ െ ݔିଵ · √ܽଶ െ ݔଶ
݊ ሺ݊ െ 1ሻ · ܽଶ
݊ · න ݔିଶ
√ܽଶ െ ݔଶ ݀ݔ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න ݁·௫ ݀ݔ ൌ ݁
݇ ܥ
න ݔ · ݁·௫ ݀ݔ ൌ ሺ݇ · ݔ െ 1ሻ · ݁ ·௫
݇ଶ ܥ
න ݔ · ݁·௫ ݀ݔ ൌ ݔ · ݁·௫
݇ െ ݊ ݇ · න ݔ
න ݔ · ݁ି௫మ ݀ݔ ൌ െ 12 · ݁ ି௫మ ܥ
න ݁ ·௫
ݔ ݀ݔ ൌ 1
1 െ ݊ · ݁·௫ ݔିଵ
݇ ݊ െ 1 · න
݁·௫ ݔିଵ ݀ݔ, ݂ݎ ݊ ് 1
න 11 ݁·௫ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ݈݊ ቆ
݁·௫ 1 ݁·௫ቇ ܥ
න 1ܽ ܾ · ݁·௫ ݀ݔ ൌ ݔ ܽ െ
1 ܽ · ݇ · ݈݊ሺܽ ܾ · ݁
·௫ሻ ܥ
න 1ܽ · ݁·௫ ܾ · ݁ି·௫ ݀ݔ ൌ 1݇ · √ܽ · ܾ · ܽݎܿݐܽ݊ ቆ݁
·௫ · ටܾܽቇ ܥ ݂ݎ ܽ, ܾ 0
න ݁ ·௫
ܽ ܾ · ݁·௫ ݀ݔ ൌ 1
݇ · ܾ · ݈݊ሺܽ ܾ · ݁ ·௫ሻ ܥ
න ݔ · ݁ ·௫
ሺ1 ݇ · ݔሻଶ ݀ݔ ൌ ݁·௫
݇ଶ · ሺ1 ݇ · ݔሻ ܥ
න ݁·௫ · ݏ݅݊ሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݁ ·௫
݇ଶ ܾଶ · ൫݇ · ݏ݅݊ሺܾ · ݔሻ െ ܾ · ܿݏሺܾ · ݔሻ൯ ܥ
න ݁·௫ · ܿݏሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݁ ·௫
݇ଶ ܾଶ · ൫݇ · ܿݏሺܾ · ݔሻ ܾ · ݏ݅݊ሺܾ · ݔሻ൯ ܥ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ݈݊ሺݔሻ െ ݔ ܥ
න ݔ · ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ
2 · ݈݊ሺݔሻ െ ݔଶ 4 ܥ
න ݔଶ · ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଷ
3 · ݈݊ሺݔሻ െ ݔଷ 9 ܥ
න ݔ · ݈݊ሺܽ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ାଵ
݊ 1 · ݈݊ሺܽ · ݔሻ െ ݔାଵ
ሺ݊ 1ሻଶ ܥ
න൫݈݊ሺݔሻ൯ଶ ݀ݔ ൌ ݔ · ൫݈݊ሺݔሻ൯ଶ െ 2 · ݔ · ݈݊ሺݔሻ 2 · ݔ ܥ
න൫݈݊ሺݔሻ൯ ݀ݔ ൌ ݔ·൫݈݊ሺݔሻ൯ െ ݊ · න൫݈݊ሺݔሻ൯ିଵ ݀ݔ ݂ݎ ݊ ് 1
න ൫݈݊ሺݔሻ൯
ݔ ݀ݔ ൌ 1
݊ 1 · ൫݈݊ሺݔሻ൯ ାଵ ܥ ݂ݎ ݊ ് െ1
න 1ݔ · ݈݊ሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݈݊൫݈݊ሺݔሻ൯ ܥ
න 1ݔ · ൫݈݊ሺݔሻ൯ ݀ݔ ൌ 1
ሺ1 െ ݊ሻ · ൫݈݊ሺݔሻ൯ିଵ ܥ ݂ݎ ݊ ് 1
න ݈݊ሺܽ · ݔ ܾሻ ݀ݔ ൌ ܽ · ݔ ܾܽ · ݈݊ሺܽ · ݔ ܾሻ െ ݔ ܥ
න ݈݊ሺܽ · ݔ ܾሻݔଶ ݀ݔ ൌ ܽ ܾ · ݈݊ሺݔሻ െ
ܽ · ݔ ܾ ܾ · ݔ · ݈݊ሺܽ · ݔ ܾሻ ܥ
න ݈݊ ൬ݔ ܽݔ െ ܽ൰ ݀ݔ ൌ ሺݔ ܽሻ · ݈݊ሺݔ ܽሻ െ ሺݔ െ ܽሻ · ݈݊ሺݔ െ ܽሻ ܥ
න 1ݔଶ · ݈݊ ൬ ݔ ܽ ݔ െ ܽ൰ ݀ݔ ൌ
1 ݔ · ݈݊ ቀ
ݔ െ ܽ ݔ ܽቁ െ
1 ܽ · ݈݊ ቆ
ݔଶ െ ܽଶ ݔଶ ቇ ܥ
______________________________________________________________________
Integrals (cont.) න sinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െcosሺ݇ · ݔሻ݇ ܥ
න cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ݇ ܥ
න tanሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െln ሺ|cosሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ܥ
න cotሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ lnሺ|sinሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ܥ
න cscሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ lnሺ|cscሺ݇ · ݔሻ െ cotሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ܥ
න secሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ lnሺ|secሺ݇ · ݔሻ tanሺ݇ · ݔሻ|ሻ݇ ܥ
න sinଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ2 െ sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ
2 · ݇ ܥ
න cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ2 sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ
2 · ݇ ܥ
න tanଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1݇ · ݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ െ ݔ ܥ
න cscଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െcotሺ݇ · ݔሻ݇ ܥ
න secଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ tanሺ݇ · ݔሻk ܥ
න cotଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1݇ · ܿݐሺ݇ · ݔሻ െ ݔ ܥ
න sinଷሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 13 · ݇ · ܿݏሺ݇ · ݔሻ · ሺsin ଶሺ݇ · ݔሻ 2ሻ ܥ
න cosଷሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 13 · ݇ · ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ · ሺcos ଶሺ݇ · ݔሻ 2ሻ ܥ
______________________________________________________________________
න 1sinଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1 ݇ · cotሺ݇ · ݔሻ ܥ
න 1cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · tanሺ݇ · ݔሻ ܥ
න sinሺܽ · ݔሻ · sinሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݏ݅݊ሺܽ െ ܾሻ · ݔ2 · ሺܽ െ ܾሻ െ
ݏ݅݊ሺܽ ܾሻ · ݔ 2 · ሺܽ ܾሻ ܥ ݂ݎ ܽ
ଶ ് ܾଶ
න cosሺܽ · ݔሻ · cosሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݏ݅݊ሺܽ െ ܾሻ · ݔ2 · ሺܽ െ ܾሻ
ݏ݅݊ሺܽ ܾሻ · ݔ 2 · ሺܽ ܾሻ ܥ ݂ݎ ܽ
ଶ ് ܾଶ
න sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 12 · ݇ · sin ଶሺ݇ · ݔሻ ܥ
න sinሺܽ · ݔሻ · cosሺܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ ܿݏሺܽ െ ܾሻ · ݔ2 · ሺܽ െ ܾሻ െ
ܿݏሺܽ ܾሻ · ݔ 2 · ሺܽ ܾሻ ܥ ݂ݎ ܽ
ଶ ് ܾଶ
න cscሺ݇ · ݔሻ · cotሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െcscሺ݇ · ݔሻ݇ ܥ
න secሺ݇ · ݔሻ · tanሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ secሺk · xሻk ܥ
න sinଶሺ݇ · ݔሻ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 132 · ݇ · ݏ݅݊ሺ4 · ݇ · ݔሻ ݔ 8 ܥ
න 1sinሺ݇ · ݔሻ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ݈݊ሺ|ݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ|ሻ C
න 1sinሺ݇ · ݔሻ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ൭secሺ݇ · ݔሻ݈݊ ൬ฬݐܽ݊ ൬
݇ · ݔ 2 ൰ฬ൰൱ ܥ
______________________________________________________________________
න 1sinଶሺ݇ · ݔሻ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 2 ݇ · ܿݐሺ2 · ݇ · ݔሻ ܥ
න sinሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1b · cosሺܽ ܾ · ݔሻ ܥ
න cosሺܽ ܾ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1b · sinሺܽ ܾ · ݔሻ ܥ
න 11 cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ · ݐܽ݊ ൬
݇ · ݔ 2 ൰ ܥ
න 11 െ cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 1 ݇ · ܿݐ ൬
݇ · ݔ 2 ൰ ܥ
න ݔ · sinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1݇ଶ · sinሺ݇ · ݔሻ െ ݔ ݇ · cosሺ݇ · ݔሻ ܥ
න ݔ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1݇ଶ · cosሺ݇ · ݔሻ ݔ ݇ · sinሺ݇ · ݔሻ ܥ
න ݔଶ · sinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ݔ݇ଶ · sinሺ݇ · ݔሻ 2 െ ݇ଶ · ݔଶ
݇ଷ · cosሺ݇ · ݔሻ ܥ
න ݔଶ · cosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ݔ݇ଶ · cosሺ݇ · ݔሻ ݇ଶ · ݔଶ െ 2
݇ଷ · sinሺ݇ · ݔሻ ܥ
න ݔ · sinଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ
4 െ ݔ
4 · ݇ · ݏ݅݊ሺ2·݇·ݔሻ െ 1
8 · ݇ଶ · ܿݏሺ2·݇·ݔሻ ܥ
න ݔ · cosଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ
4 ݔ
4 · ݇ · ݏ݅݊ሺ2·݇·ݔሻ 1
8 · ݇ଶ · ܿݏሺ2·݇·ݔሻ ܥ
______________________________________________________________________
න ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻݔ ݀ݔ ൌ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ
ሺ1 െ ݊ሻ · ݔିଵ ݇
݊ െ 1 · න ܿݏሺ݇ · ݔሻ
ݔିଵ ݀ݔ
න ܿݏሺ݇ · ݔሻݔ ݀ݔ ൌ ܿݏሺ݇ · ݔሻ
ሺ1 െ ݊ሻ · ݔିଵ ݇
1 െ ݊ · න ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ
ݔିଵ ݀ݔ
න ݔ1 േ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ט ݔ · ܿݏሺ݇·ݔሻ
݇·൫1 േ ݏ݅݊ሺ݇·ݔሻ൯ 1
݇ଶ · ݈݊ሺ|1 േ ݏ݅݊ሺ݇·ݔሻ|ሻܥ
න ݔ1 ܿݏሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ݇ ·ݐܽ݊ ൬
݇ · ݔ 2 ൰
2 ݇ଶ ·݈݊ ൬ฬܿݏ ൬
݇ · ݔ 2 ൰ฬ൰ ܥ
න ݔ1 െ ܿݏሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ െ ݔ ݇ ·ܿݐ ൬
݇·ݔ 2 ൰
2 ݇ଶ ·݈݊ ൬ฬݏ݅݊ ൬
݇·ݔ 2 ൰ฬ൰ ܥ
න ݔ ݏ݅݊ሺݔሻ1 ܿݏሺݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ݐܽ݊ ቀ ݔ 2ቁ ܥ
න ݔ െ ݏ݅݊ሺݔሻ1 െ ܿݏሺݔሻ ݀ݔ ൌ െݔ · ܿݐ ቀ ݔ 2ቁ ܥ
න ඥ1 െ ܿݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ 2 · ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ݇ · ඥ1 െ ܿݏሺ݇ · ݔሻ ܥ
න ඥ1 ܿݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 2 · ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ݇ · ඥ1 ܿݏሺ݇ · ݔሻ ܥ
න ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ1 േ ܿݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ט 1 ݇ · ݈݊ሺ|1 േ ܿݏሺ݇ · ݔሻ|ሻ ܥ
න ܿݏሺ݇ · ݔሻ1 േ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ േ 1 ݇ · ݈݊ሺ|1 േ ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ|ሻ ܥ
න ݔݏ݅݊ଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ െ ݔ · ܿݐሺ݇ · ݔሻ
݇ 1
݇ଶ · ݈݊ሺ|ݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ|ሻ ܥ
න ݔܿݏଶሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ݇ · ݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ
1 ݇ଶ · ݈݊ሺ|ܿݏሺ݇ · ݔሻ|ሻ ܥ
______________________________________________________________________
න arcsinሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ √1 െ ݇ ଶ · ݔଶ
݇ ܥ
න arccosሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿܿݏሺ݇ · ݔሻ െ √1 െ ݇ ଶ · ݔଶ
݇ ܥ
න arctanሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ െ lnሺ|1 ݇ ଶ · ݔଶ|ሻ
2 · ݇ ܥ
න arccscሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿܿݏܿሺ݇ · ݔሻ lnሺห݇ · ݔ√݇ ଶ · ݔଶ െ 1หሻ
݇ ܥ
න arcsecሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿݏ݁ܿሺ݇ · ݔሻ െ lnሺห݇ · ݔ√݇ ଶ · ݔଶ െ 1หሻ
݇ ܥ
න arccotሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ · ܽݎܿܿݐሺ݇ · ݔሻ lnሺ|1 ݇ ଶ · ݔଶ|ሻ
2 · ݇ ܥ
න arcsin ቀݔ݇ቁ ݀ݔ ൌ ݔ · arcsin ቀ ݔ ݇ቁ ඥ݇ଶ െ ݔଶ ܥ ݂ݎ ݇ 0
න arccos ቀݔ݇ቁ ݀ݔ ൌ ݔ · arccos ቀ ݔ ݇ቁ െ ඥ݇ଶ െ ݔଶ ܥ ݂ݎ ݇ 0
න arctan ቀݔ݇ቁ ݀ݔ ൌ ݔ · arctan ቀ ݔ ݇ቁ െ
݇ 2 · ݈݊ሺ|݇
ଶ ݔଶ|ሻ ܥ
න arccot ቀݔ݇ቁ ݀ݔ ൌ ݔ · arccot ቀ ݔ ݇ቁ
݇ 2 · ݈݊ሺ|݇
ଶ ݔଶ|ሻ ܥ
______________________________________________________________________
න ݔ · ܽݎܿݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 14 · ݇ଶ ሺሺ2 · ݇ଶ · ݔଶ െ 1ሻ · ܽݎܿݏ݅݊ሺ݇ · ݔሻ ݇ · ݔ · ඥ1 െ ݇ଶ · ݔଶሻ ܥ
න ݔ · ܽݎܿܿݏሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 14 · ݇ଶ ሺሺ2 · ݇ଶ · ݔଶ െ 1ሻ · ܽݎܿܿݏሺ݇ · ݔሻ െ݇ · ݔ · ඥ1 െ ݇ଶ · ݔଶሻ ܥ
න ݔ · ܽݎݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ ଶ · ݔଶ
2 · ݇ଶ · ܽݎݐܽ݊ሺ݇ · ݔሻ െ ݔ
2 · ݇ ܥ
න ݔ · ܽݎܿܿݐሺ݇ · ݔሻ ݀ݔ ൌ 1 ݇ ଶ · ݔଶ
2 · ݇ଶ · ܽݎܿݐሺ݇ · ݔሻ ݔ
2 · ݇ ܥ
න ݔ·ܽݎܿݏ݁ܿሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ
2 · ܽݎܿݏ݁ܿሺ݇·ݔሻ െ 1
2 · ݇ଶ ·ඥ݇ଶ·ݔଶ െ 1ܥ
න ݔ·ܽݎܿܿݏܿሺ݇·ݔሻ ݀ݔ ൌ ݔ ଶ
2 · ܽݎܿݏܿሺ݇·ݔሻ 1
2 · ݇ଶ ·ඥ݇ଶ·ݔଶ െ 1ܥ
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
