ABSTRACT
Contents 1.1 Motivating examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.1 Snowfall in North Carolina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Insurance risk of a large company . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Value at risk in finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Univariate extreme value theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 The extreme value distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Exceedances over thresholds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Poisson-GPD model for exceedances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
The exponential distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Pareto-type tail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Finite upper endpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Normal extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.4 The r largest order statistics model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Point process approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Maximum likelihood estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Profile likelihoods for quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Bayesian approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.4 Raleigh snowfall example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Gumbel plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 1.4.2 QQ plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3 The mean excess plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4.4 Z-and W-statistic plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Environmental extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.1 Ozone extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.2 Windspeed extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.3 Rainfall extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5.4 Combining results over all stations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6 Insurance extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.6.1 Threshold analyses with different thresholds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 1.6.2 Predictive distributions of future losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6.3 Hierarchical models for claim type and year effects . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.6.4 Analysis of a long-term series of U.K. storm losses . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7 Multivariate extremes and max-stable processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.7.1 Multivariate extremes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.7.2 Max-stable processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.7.3 Representations of max-stable processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.7.4 Estimation of max-stable processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.8 Extremes in financial time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.1 Motivating examples
Extreme value theory is concerned with probabilistic and statistical questions related to very high or very low values in sequences of random variables and in stochastic processes. The subject has a rich mathematical theory and also a long tradition of applications in a variety of areas. Among many excellent books on the subject, Embrechts et al. (1997) give a comprehensive survey of the mathematical theory with an orientation toward applications in insurance and finance, while the recent book by Coles (2001) concentrates on data analysis and statistical inference for extremes.
