ABSTRACT
Contents 5.1 “Stylized facts” about financial data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.1.1 Distribution and tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.1.2 Dependence, autocorrelations, and clusters of extremes . . . . . . . . . . . 192 5.1.3 Aggregational Gaussianity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.2 Standard models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2.1 Linear and ARMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2.2 Multiplicative models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.2.3 The ARCH family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Definition and relation to ARMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Why GARCH? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Estimation: Gaussian quasi-maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Whittle estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.2.4 The stochastic volatility model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.3 The stationarity issue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3.1 The stochastic volatility case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.3.2 The GARCH case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4 An excursion to regular variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.1 Univariate regular variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.2 Multivariate regular variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 Examples and intuitive interpretation of the spectral measure . . . . . 220 Point process convergence to a Poisson process and
regular variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Some statistical problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.4.3 Operations on regularly varying random vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Infinite moving averages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.5 The tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.5.1 The stochastic volatility case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.5.2 The GARCH case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
The tails of the solution to a stochastic recurrence equation . . . . . 234 The tails of a GARCH process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6 Classical measures of dependence: Mixing properties and correlations . . .241 5.6.1 Strong mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
The stochastic volatility case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 The GARCH case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.6.2 When does the sample ACF describe the ACF? . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.7 Stable random vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5.8 Weak convergence of point processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.8.1 A motivating example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.8.2 The GARCH case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.8.3 The stochastic volatility case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.9 Asymptotic behavior of the sample autocorrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 5.9.1 The GARCH case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 5.9.2 The stochastic volatility case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.10 Do GARCH and stochastic volatility models explain the “stylized facts” of log-returns? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.10.1 A case study for GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 The residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 The tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 The sample ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 The extremal index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.10.2 The stochastic volatility model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 5.11 Nonstationarity in log-return series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.11.1 The LRD effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 What is LRD, and how can one detect it? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 An explanation of the LRD effect: structural breaks . . . . . . . . . . . . 268
5.11.2 The IGARCH effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 5.12 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Acknowledgment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
The aim of this chapter is to discuss the interplay between the tail behavior and the dependence structure of financial data.
