chapter  29
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L1-decay and the Stability of Shock Profiles

ByD. Serre

We consider both the relaxation and the viscous approximations of a scalar conservation law. It turns out that the shock profiles are the same. However, the stability analysis differs a lot. We show how the L 1-stability of shock profiles is related to the L 1-stability of constants under zero-mass perturbations. We give a new proof of the latter in the viscous case. For the semi-linear relaxation, we prove this stability in the linear case; the semi-linear one remains an open problem.

Nous considérons les approximations d’une lois de conservation scalaire, par relaxation semi-linéaire ou par viscosité. Dans les deux cas, les profils de choc sontles mêmes, bien que l’analyse de stabilité differe de maniére significative. Nous montrons que la stabilité dans L 1 de ces profils est liée á la stabilité dans L 1 des constantes, pour des perturbations de masse nulle. Nous donnons une nouvelle preuve de celle-ci dans le cas visqueux. Concernant la relaxation, nous prouvons la stabilité dans le cas linéaire; le cas semi-linéaire reste ouvert.