ABSTRACT

Rajchman measures are those Borel measures on the circle (say) whose Fourier transform vanishes at infinity. Their study proper began with Rajchman, but attention to them can be said to have begun with Riemann’s theorem on Fourier coefficients, later extended by Lebesgue. Most of the impetus for the study of Rajchman measures was due to their importance in regard to the question of uniqueness of trigonometric series. This motivation continues to the present day with the introduction of descriptive set theory into harmonic analysis. The last ten years have seen the resolution of several old questions, some from Rajchman himself. We give a historical survey of the relationship between Rajchman measures and their common null sets, including a few of the most interesting proofs.

Les mesures de Rajchman sont les mesures boréliennes sur le cercle dont la transformée de Fourier s’annulle à l’infini. Leur étude pwprement dite a commencé avec Rajchman, mais on peut dire qu ’elles ont retenu l’attention des mathématiciens depuis le théorème de Riemann sur les coefficients de Fourier, étendu plus tard par Lebesgue. La raison majeure de l’étude des mesures de Rajchman a toujours éte leur importance pour la question de l ’unicité des séries trigonométriques. Cette motivation persiste avec l’introduction de la théorie descriptive des ensembles en analyse harmonique. Les dix dernières années ont vu la résolution de plusieurs questions anciennes, parmi elles quelques-unes de Rajchman lui-même. Nous donnons ici une revue historique des rapports entre les mesures de Rajchman et les ensembles négligeables correspondants communs avec quelques-unes des preuves les plus intéressantes.