Quelques Remarques sur la Théorie d'Iwasawa des Courbes Elliptiques

Dans ce texte, nous avons cherché à donner un panorama partial et partiel ¹ de la théorie d’Iwasawa des courbes elliptiques en utilisant les deux outils que sont les systèmes d’Euler construits par Kato et la théorie de l’exponentielle (ou du logarithme). Nous n’avons regardé ici que la partie interpolation https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5047.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> -adique des valeurs spéciales de la fonction https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> L https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5048.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> en 1 tordue par un caractère de Dirichlet ² . L’idée importante pour nous que nous voudrions faire passer dans ce texte est que l’application logarithme élargi (ou régulateur ³ d’Iwasawa) qui généralise les constructions de Kummer, Iwasawa, Coates-Wiles et l’homomorphisme de Coleman, contient, par sa construction même d’une part et grâce à la loi de réciprocité de Colmez d’autre part, tous les renseignements nécessaires permettant le calcul de ses valeurs spéciales et leur lien avec les invariants arithmétiques. Les systèmes d’Euler-Kato permettant de voir la fonction https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> L p https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5049.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> -adique comme le régulateur d’Iwasawa d’un système compatible pour les normes construit de manière modulaire grâce au théorème de Kato, la plupart des formules spéciales sur la fonction https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> L p https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5050.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> -adique en un entier https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5051.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> s’en déduisent. Dans le cas des courbes elliptiques ayant bonne réduction en https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5052.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> , ces résultats se trouvent déjà dans [31]. Dans le cas des courbes elliptiques semi-stables en https://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429258978/3c59d1b3-c997-442a-81c4-7652a0f9e6a5/content/eq5053.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/> , on obtient une (nouvelle) interprétation du “zéro trivial”.