ABSTRACT
We consider the initial value problem for space periodic equations of the form ()https://www.w3.org/1998/Math/MathML">∂tu+∂x3u+F(u)∂xu=0https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429332838/58f4c041-1317-4a7c-b51a-e794ca13209e/content/eq71.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/>
where F is assumed sufficiently smooth. This equation generalizes the KdV equation (F (u) = u). A method of dealing with these problems was developed by [B2] within the context of polynomial nonlinearity. Here we complete this investigation by proving global wellposedness for (0.1). Equation (0.1) is in general nonintegrable, and there is an absence of higher order conservation laws (that this is actually the case is shown in the paper). This requires an analysis under weak regularity conditions for the data, the best a priori bound one may expect being the H1 -norm (for small data). We study also certain higher order equations of the form ()https://www.w3.org/1998/Math/MathML">∂tu+∂x2j+1u+F(u,lower order)=0https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429332838/58f4c041-1317-4a7c-b51a-e794ca13209e/content/eq72.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/>
for which local results are obtained. Both (0.1), (0.2) were recently well studied for the nonperiodic setting (data in Hs (ℝ)). The main difference here is the absence of the smoothing effect due to the linear equation.
On considère le problème de Cauchy pour des équations de la forme ()https://www.w3.org/1998/Math/MathML">∂tu+∂x3u+F(u)∂xu=0https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429332838/58f4c041-1317-4a7c-b51a-e794ca13209e/content/eq73.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/>
pour conditions initiales périodiques. La fonction F est supposée suffisamment différentiable. L’ équation (0.1) généralise l’équation de KdV (F (u) = u). l’ Auteur a développé une méthode pour traiter ce genre de problèmes et démontré un résultat pour F(u) un pôlynome [B2]. On complète ici ces investigations. L’ équation (0.1) est en général nonintégrable et il y a un manque de lois de conservation (en fait on démontre ici l’ absence possible de bornes sur les dérivées supérieures à u). On est donc obligé défaire une analyse sous les conditions de régularité faibles, la meilleure borne a priori étant la norme H1. On considère également des équations ()https://www.w3.org/1998/Math/MathML">∂tu+∂x2j+1u+F(u, ordre inférieur)=0https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780429332838/58f4c041-1317-4a7c-b51a-e794ca13209e/content/eq74.tif" xmlns:xlink="https://www.w3.org/1999/xlink"/>
18pour lesquelles on obtient des résultats locaux. Les équations (0.1), (0.2) ont été bien étudiées dans des travaux récents pour le cas non-périodique, donc pour donnée initiale ϕ ∈ Hs (R). La différence essentielle ici est l’ absence d’ effet régularisant due à l’ équation linéaire.
