ABSTRACT
Contents Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Review of Compressive Sensing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Fresnel Diffraction with Pixel Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Total Variation Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 BPDN for Joint Sparsity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 OMP for Joint Sparsity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Fresnel Diffraction with Point Objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Band-Excluded, Locally Optimized Orthogonal Matching Pursuit . . . . . . . 42 Band-Excluding Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Highly Redundant Dictionaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Fresnel Diffraction with Littlewood-Paley Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Near-Field Diffraction with Fourier Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Inverse Scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Pixel Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Sampling Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Backward Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Forward Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Coherence Bounds for Single Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Introduction A monochromatic wave u propagating in a heterogeneous medium is governed by the following Helmholtz equation:
Δu(r) + ω2(1 + ν(r))u(r) = 0, r ∈ d, d = 2, 3 (3.1)
where ν ∈ describes the medium heterogeneities. For simplicity, we choose the physical units such that the wave velocity is unity and the wavenumber equals the frequency ω.
