ABSTRACT
The present work is inspired by Edmund Landau’s famous book, “Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen”, where he posed two extremal questions on cosine polynomials and deduced various estimates on the distribution of primes using known estimates of the extremal quantities. Although since then better theoretical results are available for the error term of the prime number formula, Landau’s method is still the best in finding explicit bounds. In particular, Rosser and Schonfeld used the method in their work “Approximate formulas for some functions of prime numbers”.
In the present work we introduce general coefficient conditions, which enables us to handle the cases of fixed degree n ∈ ℕ and that of free degree a unified way. Our goal is to describe the basic function α(a) that plays a crucial role in both extremal problems of Landau. We prove that α(a) is identical to another extremal quantity, that can be considered the dual of our basic function. While the approximation of this dual quantity was in the heart of the method of van der Waerden, our duality theorem reveals why his estimate was so sharp.
As we shall present in a forthcoming paper, the new insight into the structure of the problem also helps to improve upon the best known upper and lower estimates of French, Steckin and van der Waerden. The proof of the duality theorem uses functional analysis comparable to linear programming.
Ce travail est inspiré par l’oeuvre célèbre d’Edmund Landau, dont le titre est “Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen”, et dans laquelle Landau a posé deux questions extrémales, concernantes des polynomes cosinus, dont il a déduit de différentes estimations pour la distribution des nombres premiers en utilisant quelques résultats sur des problèmes extrémales. On a obtenu de meilleurs résultats pour le terme d’erreur depuis-là, tout de même la méthode de Landau est la meilleur pour trouver des limites explicites. Rosser et Schonfeld ont utilisé cette méthode dans leur oeuvre “Approximate formulas for some functions of prime numbers”.
Dans ce travail on introduit des conditions de coefficient générales, qui rendent possible la discussion uniforme des cas différants où les degrés sont libres ou fixés n ∈ ℕ. On prend pour but de décrire la fonction α(a) qui joue un rôle important dans tous les deux problèmes extrémales de Landau. On démontre que α(a) est identique à une autre quantité extrémale, qui peut être considérée comme le duel de notre fonction de base. Comme l’essence du méthode de van der Waerden a été l’approximation de cette quantité duelle, le présent théorème de réciprocité explique, pourquoi l’estimation de van der Waerden est si exacte.
Comme on va démontrer dans un article suivant, l’inspection de la structure du problème nous aide à améliorer les meilleures estimations connues; celles de French, Steckin et van der Waerden. La démonstration du théorème du réciprocité utilise l’analyse fonctionelle, avec un argument similaire à la programmation linéaire.
