ABSTRACT
CONTENTS 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 The Fourier Transform∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 The Fourier Series∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 The Discrete-Time Fourier Transform∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.6 The Discrete Fourier Transform (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.7 Forward and Backwards Transform for the Four Types of
Fourier Transforms∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.8 Example Discrete Fourier Transform∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9 The Fast Fourier Transform: FFT∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.10 Windowing to Decrease Spectral Leakage and Improve
Frequency Resolution∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.11 The Fast Fourier Transform (FFT): Its Use inMatlab∗ . . . . . . . . . . 72 3.12 Zero Padding the FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.13 Short-Term Fourier Transform: STFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.14 Frequency Domain Audio Processing Using the STFT and the
Inverse STFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.15 Matlab Implementation of Perfect Reconstruction Discrete
STFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.16 Audio Spectrograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.17 Spectrogram UsingMatlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.18 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.19 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.1 Introduction Frequency analysis is a key aspect of any speech and audio processing or manipulation technique. This chapter introduces the concepts of Fourier analysis and its direct application to the analysis of audio signals.
